第一部分 第4板块 概率与统计 层级3～4 创新应用考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：正态分布＋二项式定理＋组合数计算 1.已知ξ服从正态分布N(2，σ2)，a∈R，当P(ξ>a)＝0.5时，关于x的二项式3的展开式的常数项为(　 ) A.1 B.4 C.6 D.12 解析：选D　因为ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ>a)＝0.5，所以a＝2，二项式3的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(2x)3－kk＝C23－kx3－3k，令3－3k＝0，可得k＝1，所以二项式3的展开式的常数项为T2＝C×22＝12，故选D. ■关联点：线性相关关系＋组合＋古典概型 2.已知x，y的对应值如下表所示： x 0 2 4 6 8 y 1 m＋1 2m＋1 3m＋3 11 y与x具有较好的线性相关关系，可用回归方程y＝1.3x＋0.6近似刻画，则在y的取值中任取两个数均不大于9的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由表格中的数据可得＝＝4， ＝＝， 所以这组数据的样本点中心的坐标为， 又因为点(，)在回归直线上，所以1.3×4＋0.6＝5.8＝，解得m＝2， 所以y的取值分别为1,3,5,9,11， 在这5个数中，任取两个，取到的两个数都不大于9的概率为P＝＝.故选B. ■关联点：古典概型＋椭圆 3.某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率e≥的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，所以a>b，而e＝≥，解得0<≤，投掷骰子得到点数(a，b)共有36种，其中满足0<≤的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)，共9种，所以所求概率为＝. ■关联点：几何概型＋三角恒等变换 4.勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　设大正方形的边长为1，最小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos θ－sin θ，由题意可得(cos θ－sin θ)2＝，显然0<θ<，所以cos θ>sin θ>0，所以cos θ－sin θ＝.又cos2θ＋sin2θ－2cos θsin θ＝，所以2cos θsin θ＝.所以(cos θ＋sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ＋2cos θsin θ＝.所以cos θ＋sin θ＝.所以sin θ＝. ■关联点：对数的运算＋随机变量分布列＋不等式＋信息熵 5.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，pi＝1，定义X的信息熵H(X)＝－pilog2pi，若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则(　 ) A.H(X)≥H(Y) B.H(X)≤H(Y) C.H(X)<H(Y) D.H(X)>H(Y) 解析：选D　依题意知，P(Y＝1)＝p1＋p2m， P(Y＝2)＝p2＋p2m－1， P(Y＝3)＝p3＋p2m－2， … P(Y＝m)＝pm＋pm＋1， ∴H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)·log2(pm＋pm＋1)]，又H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋pmlog2pm＋…＋p2mlog2p2m)，∴H(Y)－H(X)＝p1log2＋p2log2＋…＋p2mlog2，又<1，<1，…，<1，∴H(Y)－H(X)<0，∴H(X)>H(Y).故选D. ■关联点：正弦定理＋正态分布＋不等式 6.某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角α和β(β>α)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h＝________；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差εn近似满足εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.997 3，至少要测量______次. (参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 3) 解析：在△ABC中，＝，AC＝，在Rt△AD