第一部分 第4板块 层级2 微专题（3）离散型随机变量及其分布列、正态分布（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　离散型随机变量及其分布列、正态分布 命题点(一)　定义法求离散型随机变量的分布列、期望与方差　 [例1]　在一个游戏中，每次输赢的概率都是.甲的策略是：第一次押1元，如果赢，就结束；如果输，押2元再来一次，无论输赢都结束.乙的策略是：押1元，无论输赢都结束. (1)求甲赢的概率与乙赢的概率； (2)用X、Y分别表示甲、乙最终赢得的金额(即所押金额)，求它们的分布列与期望； (3)比较甲与乙的策略. [解]　(1)甲、乙每次输赢的概率都是，甲赢分成第一次赢与第一次输第二次赢，则概率为＋×＝；乙赢的概率为. (2)甲最终赢得的金额X＝－3,1， 甲两次都输，P(X＝－3)＝×＝； 甲第一次赢或者第一次输第二次赢，P(X＝1)＝＋×＝. 其分布列为 X －3 1 P E(X)＝－3×＋1×＝0， D(X)＝(－3)2×＋12×＝3. 乙最终赢得的金额Y＝－1,1， P(Y＝－1)＝P(Y＝1)＝. 其分布列为 Y －1 1 P E(Y)＝－1×＋1×＝0， D(Y)＝(－1)2×＋12×＝1. (3)因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)， 所以甲最终赢得的金额的均值等于乙最终赢得的金额的均值，但甲赢得的金额不稳定. 方法技巧 离散型随机变量分布列的模型解法 针对训练 1.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花当作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理如表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，并希望利润能比较稳定.你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80.当n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80.所以y关于n的函数解析式为y＝n∈N. (2)①X的所有可能取值为60,70,80，E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下： 当一天购进17枝时，当天的利润Y的概率分布为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大，故花店一天应购进16枝玫瑰花. 命题点(二)　二项分布及其应用　 [例2]　某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作. (1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E(X)； (2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ [解]　(1)由题意，可得方案一中，随机变量X～B，则P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝2＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝2×＝. (2)对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为P1，则P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－3＝. 对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为P2， 则P2＝1－6－C··5－C·2·4＝1－＝. 可得P2<P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高. 方法技巧 二项分布的解题模型 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量服从二项分布； (3)找到参数n，p； (4)写出二项