第一部分 第3板块 立体几何 层级1 基础性考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 立体几何 基础考法(一)　几何体的表面积与体积 [评价·诊断] 1.(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　 ) A.8 B.12 C.16 D.20 解析：选B　三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝×(2＋4)×2×2＝12.故选B. 2.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB＝16 cm，圆柱体部分的高BC＝8 cm，圆锥体部分的高CD＝6 cm，则这个陀螺的表面积是(　 ) A.192πcm2 B.252πcm2 C.272πcm2 D.336πcm2 解析：选C　由题意可得圆锥体的母线长为l＝＝10，所以圆锥体的侧面积为10×8π＝80π，圆柱体的侧面积为16π×8＝128π，圆柱的底面面积为π×82＝64π，所以此陀螺的表面积为80π＋128π＋64π＝272π(cm2)，故选C. 3.(2023·全国乙卷)如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为(　 ) A.24 B.26 C.28 D.30 解析：选D　作出该零件的直观图如图所示，该零件可看作是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体所得，其表面积为2×(2×2＋2×3＋2×3)－2×1×1＝30，故选D. 4.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　 ) A.π B.π C.3π D.3π 解析：选B　在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB的中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝， 解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π. 5.(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　 ) A.1 B. C.2 D.3 解析：选A　如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝，又PC＝，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝×S△ABC×PD＝××2××＝1，故选A. 6.(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________. 解析：如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P－A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′－ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′－ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以＝，即＝，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝×3×(22＋2×4＋42)＝28. 答案：28 [扫盲·补短] 知识盲点 谨记画三视图的基本原则：长对正、高平齐、宽相等 方法疑点 对于底面或高不易求的空间几何体，等体积转化是常用的方法 思想高点 求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体 基础考法(二)　线、面位置关系的判定 [评价·诊断] 1.已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是(　 ) A.若m⊥n，n⊂α，则m⊥α 　　B.若m∥n，n⊂α，则m∥α C.若m⊥n，n⊥α，则m∥α 　　D.若m∥n，n⊥α，则m⊥α 解析：选D　若m⊥n，n⊂α，也可以有m⊂α，A错误； 若m∥n，n⊂α，也可以有m⊂α，B错误； 若m⊥n，n⊥α，则m∥α或m⊂α，C错误； 若m∥n，n⊥α，则m⊥α，这是线面垂直的判定定理之一，D正确. 2.在下列命题中，假命题是(　 ) A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β D.若平面α∥平面β，任取直线l⊂α，则必有l∥β 解析：选C　根