第一部分 第3板块 层级2 微专题（2）空间向量与空间角、距离问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　空间向量与空间角、距离问题　　 命题点(一)　线面角　 [例1]　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. [解]　(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC， 又∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1， ∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC. (2)如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝. 建立空间直角坐标系C－xyz如图所示， 则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)， ∴＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－2，，)， 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1,0,1). 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 方法技巧 利用空间向量求线面角的解题模型 针对训练 1.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A＝CD，∠DAB＝，M，E分别为AD1，B1C的中点. (1)证明：ME∥平面DCC1D1； (2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值. 解：(1)证明：分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，则MH∥DD1，MH＝DD1，PE∥CC1，PE＝CC1，所以MH∥PE，MH＝PE， 所以四边形MHPE为平行四边形， 所以ME∥PH，又PH∥CD，所以ME∥CD， 因为CD⊂平面DCC1D1，ME⊄平面DCC1D1， 所以ME∥平面DCC1D1. (2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD， 因为AB∥CD, ∠DAB＝，所以CD⊥AD， 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)， B1(1,1,1)，E， 所以＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)， ＝ 设平面B1BCC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝1，则y＝1，所以n＝(1,1,0)， 所以cos〈，n〉＝＝， 所以AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值为. 命题点(二)　二面角　 [例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD. (1)求证：BP∥平面ACM； (2)求二面角M－BC－D的余弦值. [关键点拨] 切入点 (1)在平面ACM内找与PB平行的线； (2)建立坐标系，利用向量法求解 迁移点 (1)把线面平行问题转化为线线平行问题； (2)把求二面角问题转化为求两法向量的夹角问题 障碍点 不会建系.本题不能直接建系，需根据侧面PAB⊥底面ABCD，作交线AB的垂线，可得平面ABCD的垂线，从而建立坐标系 [解]　(1)证明：连接BD，与AC交于O，连接OM，在△PBD中，因为O，M分别为BD，PD的中点，所以BP∥OM.因为BP⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以BP∥平面ACM. (2)设E是AB的中点，连接PE，因为△PAB为正三角形，所以PE⊥AB. 又因为面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩底面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD. 过E作EF平行于CB与CD交于F.以E为原点，分别以EB，EF，EP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 则E(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0，)，C(1,2,0)，