第一部分 第2板块 数列 层级3～4 创新应用考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：数列＋导数＋函数 1.若x1，x2是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b>0)的导函数的两个不同零点，且x1，x2,2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a＋b＝(　 ) A. B. C. D.4 解析：选A　∵f′(x)＝x2＋2ax＋b，∴x1＋x2＝－2a<0，x1x2＝b>0，所以x1，x2为两个不等的负数.不妨设x1<x2<0，则必有x1，x2,2成等差数列，x1,2，x2成等比数列，故有2x2＝x1＋2，x1x2＝4，解得x1＝－4，x2＝－1.所以a＝，b＝4，a＋b＝. ■关联点：数列＋充分必要条件 2.(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列.则(　 ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：选C　若{an}为等差数列，设其公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)·，－＝a1＋(n＋1－1)·－＝，为常数，所以为等差数列，即甲⇒乙；若为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)·(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙.所以甲是乙的充要条件，故选C. ■关联点：数列＋直线方程＋圆 3.正项数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝50，若直线l：3x＋4y＋an－1＋an＋1－3＝0(n∈N*)与圆C：(x－1)2＋y2＝a(an>0)相切，则S15＝(　 ) A.90 B.70 C.120 D.100 解析：选C　由题易知圆C的圆心为(1,0)，半径r＝an.由直线l：3x＋4y＋an－1＋an＋1－3＝0(n∈N*)与圆相切得，圆心(1,0)到直线l的距离d＝＝r＝an，整理得＝an，即2an＝an－1＋an＋1.所以{an}为等差数列.在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，则2×(50－10)＝10＋S15－50，即S15＝120. ■关联点：数列＋概率＋离散型随机变量的期望 4.“紫藤挂穗，蓝楹花开，黄桷新绿，菩提葱蔚”，巴蜀中学即将迎来90周年校庆，学校设计了3个吉祥物“诚诚”，“盈盈”，“嘉嘉”.现在袋中有6个形状、大小完全相同的小球，每一个小球上写有一个字(其中有2个小球写着“诚”，2个小球写着“盈”，2个小球写着“嘉”).现在有四位同学，平均分成甲、乙两队，进行比赛活动，规则如下：每轮参与活动的队伍每位同学抽取1次小球，每次抽取后小球放回袋中，若两次抽取的球上的字组成了吉祥物名称(如：诚诚)，则该队得1分，并且该队继续新一轮比赛活动，否则，该队本轮得0分，由对方组接着抽取.活动开始时由甲队先抽取，若第n轮由甲队抽取的概率为Pn，n轮结束后，甲队得分均值为Kn，则下列说法错误的是(　 ) A.P2＝ B.Pn＝＋n－1 C.E(K2)＝ D.Kn＝Pn＋Kn－1 解析：选B　第一轮甲队两名成员必须抽到“诚诚”，“盈盈”，“嘉嘉”这三个中的一个，则第二轮继续由甲队抽取，则P2＝＝，故A正确；第n轮由甲队抽取，可分两类情况：第一类是第n－1轮由甲队抽取并且下一轮继续由甲队抽取；第二类是第n－1轮由乙队抽取并且下一轮由甲队抽取，则Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)＝－Pn－1＋，可变形为Pn－＝－， 又易知P1－＝≠0，故数列是以为首项，－为公比的等比数列. 所以Pn－＝n－1，即Pn＝n－1＋，故B错误；第二轮结束后，甲队可能的得分为2,1,0，P(K2＝2)＝×＝，P(K2＝1)＝×＝，P(K2＝0)＝， 所以E(K2)＝2×＋1×＋0×＝，故C正确；第n轮结束后，甲队得分可以分2种情况：一类是第n轮甲队的得分加上1分，则第n轮必须由甲抽取且得1分；一类是第n轮甲队的得分加上0分，则第n轮由甲抽取且不得分，或第n轮由乙抽取，则Kn＝Pn(Kn－1＋1)＋Kn－1＝Pn(Kn－1＋1)＋Kn－1＝Pn＋Kn－1，故D正确. ■关联点：数列＋集合＋计数原理 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且＝an＋1，a2＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)集合A＝{a1，a2，…，an}，将集合A的所有非空子集中最