第一部分 第2板块 层级2 微专题（2）数列的递推关系与子数列问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　数列的递推关系与子数列问题 命题点(一)　构造法求数列的通项公式　 [例1]　(1)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，求{an}的通项公式； (2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式； (3)已知数列{an}中，a2＝，an＝an＋1＋2anan＋1，求数列{an}的通项公式. [关键点拨] 切入点 (1)由an＋1＝3an＋6，可构造an＋1＋λ＝q(an＋λ)的形式. (2)将已知递推式两边同除以2n＋1，由等差数列的定义和通项公式，可得所求. (3)首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出{an}的通项公式 障碍点 对递推式进行合理变形，转化为等差数列或等比数列 [解]　(1)由an＋1＝3an＋6，得an＋1＋3＝3(an＋3)，所以{an＋3}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＋3＝3n－1，故an＝3n－1－3. (2)由an＋1－2an＝2n＋1，左、右两边同除以2n＋1， 得－＝1，则数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，则＝1＋n－1＝n，即an＝n·2n. (3)因为an＝an＋1＋2anan＋1，令n＝1，则a1＝a2＋2a1a2，又a2＝，所以a1＝1，对an＝an＋1＋2anan＋1两边同时除以anan＋1，得－＝2， 又因为＝1，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，故an＝. 方法技巧 1.用“待定系数法”构造等比数列 形如an＋1＝kan＋p(k，p为常数，kp≠0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为an＋1＋m＝k(an＋m)，由此构造出新的等比数列{an＋m}，先求出{an＋m}的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式. 2.用“同除法”构造等差数列 (1)形如an＋1＝qan＋p·qn＋1(n∈N*)，可通过两边同除qn＋1，将它转化为＝＋p，从而构造数列为等差数列，先求出的通项公式，便可求得{an}的通项公式. (2)形如an－an＋1＝kan＋1an(k≠0)的数列，可通过两边同除以an＋1an，变形为－＝k的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项公式，便可求得{an}的通项公式. 针对训练 1.在数列{an}中，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，则a2 023的值为(　 ) A.1 517×22 024 B.1 517×22 023 C.1 517×22 022 D.无法确定 解析：选B　∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝5. ∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减得，an＋2＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)， ∴{an＋1－2an}是以a2－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－2an＝3×2n－1，两边同除以2n＋1，则－＝，∴是以为公差，＝为首项的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝×2n＝(3n－1)×2n－2，∴a2 023＝(3×2 023－1)×22 021＝1 517×22 023. 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a10＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　由an＋1＝，两边同时取倒数得＝＝＋1，则＋1＝2，所以数列为等比数列，则＋1＝·2n－1＝2n， 所以an＝，故a10＝＝.故选C. 3.已知数列{an}，{bn}满足a1＝，2an＋1－an＝16an＋1an，bn＝－16，则bn＝________. 解析：由2an＋1－an＝16an＋1an，得＝－16，于是－16＝2，即bn＋1＝2bn， 而b1＝－16＝2，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列.所以bn＝2×2n－1＝2n. 答案：2n 命题点(二)　数列的奇偶项问题　 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 数列中的奇、偶项问题的常见题型： (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确的奇、偶项问题. [例2]　(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为bn＝所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6. 因为S4＝3