第一部分 第1板块 层级2 微专题（2）平面向量（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　平面向量 命题点(一)　三点共线的应用　 [例1]　在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为(　 ) A.2 B.4 C.4＋2 D.9＋4 [关键点拨] 切入点 由A，E，D三点共线，得x与y的关系式 隐藏点 若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使＝λ＋(1－λ) 障碍点 想不到利用基本不等式求解 [解析]　因为|BD|＝|BC|，＝x＋y，所以＝x＋4y. 由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0. 所以＋＝(x＋4y)＝9＋＋≥9＋2＝9＋4， 当且仅当x＝y，即时取等号. [答案]　D [例2]　在四边形ABCD中，AB∥CD，设＝λ＋μ(λ，μ∈R).若λ＋μ＝，则＝(　 ) A. B. C. D. [解析]　∵AB∥CD， ∴设＝k，则＝k，k>0， ∵＝＋＝k＋＝λ＋μ， ∴∵λ＋μ＝， ∴1＋k＝，即k＝，即＝.故选C. [答案]　C 方法技巧 平面向量中的爪子模型指三点共线的向量问题模型，由于其几何图形看起来像爪子，故称之为爪子模型.解题关键点如下： 确定共线的三点 找到平面内共线的三点M，O，N和任意一点A 写成规范形式 ＝x＋y 应用结论 M，O，N三点共线⇔存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ) 针对训练 1.在梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝4CD，点P在边BC上，若＝＋λ，则实数λ＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　延长AD，BC交于点E，则B，P，E三点共线，于是可得＝＋， 因为AB∥CD且AB＝4CD，所以＝，所以＝＋×＝＋，故λ＝. 2.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若＝，则△ABC与△APQ面积的比值为________. 解析：设＝μ(0<μ≤1)，因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＝＋，由P，G，Q三点共线， 得＋＝1，解得μ＝， 所以＝＝＝. 答案： 命题点(二)　平面向量中的最值和范围问题　 [例3]　在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝2，∠A＝135°，E，F分别是AB，AD上的点，且＝λ，＝μ(其中λ，μ∈(0,1))，且3λ＋μ＝1.若线段EF的中点为M，则当||取最小值时，的值为(　 ) A.36　　　B.37　　　C.21　　　D.22 [解析]　＝－＝(＋)－(＋)＝(λ＋μ)－(＋)＝＋， 所以||2＝22＋22＋2·＝22＋42＋2××2×＝λ2－λ＋1， 所以||＝＝， 因为μ＝1－3λ∈(0,1)，所以0<λ<， 所以当λ＝时，||取得最小值，此时μ＝1－3λ＝1－＝，所以＝＝22. [答案]　D [例4]　(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　 ) A. B. 　 C.1＋ 　D.2＋ [关键点拨] 切入点 利用勾股定理求|PA|，进而得∠POA，设OP绕点P按逆时针旋转θ后与PD重合 迁移点 求数量积的最值转化为求三角函数最值 障碍点 不能得出θ的范围或直接分类讨论点A、D的位置而加大计算量 　[解析]　连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝.设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－<θ<，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ. 所以·＝||||cos＝cos θcos＝cos θ＝cos2θ－sin θcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ＝＋cos≤＋，故选A. [答案]　A 方法技巧 平面向量中有关最值、范围问题求解的两种思路 形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断 数化 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 针对训练 3.如图，在直角梯形ABCD中，A＝B＝90°，AD＝4，AB＝BC＝2，点M在以CD为直径的半圆上，且满足＝m＋n，则m＋n的最大值为(　 ) A.2 B.3 C.－ D. 解析：选D　取CD的中点O为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设∠MOx＝θ，则M(cos θ，sin θ)，A(－1，－3)，B(1，－3)，D(－1,1)，＝(cos θ＋1，sin θ＋3)，＝(2,0)，＝(0,4)，故＝m＋n，即则m＋n＝cos θ＋sin θ＋＝sin(θ＋φ)＋，其中φ为锐角且tan φ＝2>1，故<φ<.当θ＝－φ时，m＋n取最大值