第2板块 数列 层级1 基础性考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第二板块 数　列 基础考法一　等差、等比数列的基本运算 [评价·诊断] 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　 ) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得 即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 2．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，则k3＝(　 ) A．14 B．34 C．41 D．86 解析：选C　因为a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，可得a2＝3a1，所以ak3＝a1·34＝81a1， 又因为数列{an}为等差数列，所以公差d＝a2－a1＝2a1， 所以ak3＝a1＋(k3－1)d＝a1＋2(k3－1)a1＝(2k3－1)a1， 所以(2k3－1)a1＝81a1，解得k3＝41.故选C. 3．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　 ) A．25 B．22 C．20 D．15 解析：选C　法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. 法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C. 4．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 解析：由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8×＝7×，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－. 答案：－ 5．(2023·唐山一模)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由得 解得∴an＝2－(n－1)＝3－n. 答案：3－n [扫盲·补短] 知识盲点 熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b为常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列 方法疑点 运算时，把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)求解，注意整体计算 思维难点 使用等比数列前n项和公式时，不要忽略对公比q的讨论 基础考法(二)　等差、等比数列的性质及应用 [评价·诊断] 1．已知数列{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＝π，则tan(a1＋a9)＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝π，则有3a5＝π，即a5＝，所以tan(a1＋a9)＝tan 2a5＝tan＝－. 2．已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，若a5·a6＝a7，则T7的值是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　因为数列{an}是等比数列，设公比为q，由a5·a6＝a7得a1q4·a1q5＝a1q6，即a1q3＝1，即a4＝1，由等比数列的性质可得，T7＝a1a2a3a4a5a6a7＝a＝1.故选A. 3．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　 ) A．120 B．85 C．－85 D．－120 解析：选C　法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由题意易知q≠1，则 化简整理得所以S8＝＝×(1－44)＝－85.故选C. 法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去． 4．若无穷等比数列{an}的各项均大于1，且满足a1a5＝144，a2＋a4＝30，则公比q＝______. 解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a4＝a1a5＝144，又因为a2＋a4＝30，解得或 由无穷等比数列{an}的各项均大于1可知q≥1，所以因为a4＝a2·q2，即24＝6q2，解得q＝2. 答案：2 5．若等比数列{an} 的前n项和为Sn，且S3＝7，S6＝63，则S9＝________. 解析：因为等比数列中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，