第2板块 层级2 微专题（4）大题专攻——“数列”大题的规范解题路径（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(四)　大题专攻——“数列”大题的规范解题路径 数列问题重在“归”——化归　 等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，凡是涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法．对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．　 [解题示范] [典例]　记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋＜2. [应用体验] 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝145，a3＝7，公比为2的等比数列{bn}满足b1＝2a1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn，及使得Tn>m－2 022对n∈N*恒成立的最大正整数m. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2. 因为b1＝2a1＝2， 所以bn＝2×2n－1＝2n. (2)因为anbn＝(3n－2)×2n， 则Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n，① 2Tn＝1×22＋4×23＋…＋(3n－5)×2n＋(3n－2)×2n＋1，② ①－②得－Tn＝2＋3(22＋23＋…＋2n)－(3n－2)·2n＋1 ＝2＋－(3n－2)·2n＋1＝－10＋(5－3n)·2n＋1， 因此，Tn＝(3n－5)·2n＋1＋10. Tn>m－2 022对n∈N*恒成立， 即min>m－2 022， 又因为anbn＝(3n－2)·2n>0， 所以{Tn}单调递增， 所以Tn的最小值为T1＝1, 即1>m－2 022，m<2 023， 所以最大正整数m为2 022. 2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为bn＝所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.因为S4＝32，T3＝16， 所以 整理得解得 所以{an}的通项公式为an＝2n＋3. (2)证明：由(1)知an＝2n＋3， 所以Sn＝＝n2＋4n. 当n为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＋＝. 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0，所以Tn＞Sn. 当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝＋＝. 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0，所以Tn＞Sn.综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn. 学科网（北京）股份有限公司 $$