第2板块 层级2 微专题（1）数列求和（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　数列求和 命题点(一)　分组转化法求和　 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论. [例1]　已知数列{an}满足4an＝3Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b2＝6，求{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)∵4an＝3Sn＋1， ∴当n≥2时，4an－1＝3Sn－1＋1， 两式相减可得4an－4an－1＝3an，即an＝4an－1， 当n＝1时，4a1＝3a1＋1，解得a1＝1. ∴数列{an}是以首项为1，公比为4的等比数列，∴an＝4n－1. (2)设等差数列{bn－an}的公差为d， ∴b1－a1＝2－1＝1，b2－a2＝6－4＝2， ∴d＝2－1＝1， ∴bn－an＝1＋(n－1)×1＝n， ∴bn＝n＋4n－1. ∴{bn}的前n项和Tn＝＋＝＋(4n－1)． 方法技巧 利用分组转化法求和的3个关键点 会列方程 会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量 会用公式 会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式 会分组 求和 观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列 针对训练 1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，则 解得a1＝13，d＝－2. 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时， Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝ 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解： (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 命题点(二)　错位相减法求和　 若数列{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列，则求其积数列{an·bn}的前n项和，可以运用错位相减法. [例2]　设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. [关键点拨] 切入点 (1)根据an与Sn得关系，计算即可得出答案． (2)求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和 障碍点 求Tn时错位相减法后得到等比数列，注意准确确定其项数 [解]　(1)当n≥2时，由2an＋1＝Sn＋2， 得2an＝Sn－1＋2， 两式相减得2an＋1－2an＝an， 所以＝， 因为a1＝1，a2＝＝， 所以＝， 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，通项公式an＝n－1. (2)bn＝an·＝(n－2)·n－1， 则Tn＝－1×0＋0×＋1×2＋…＋(n－2)·n－1， Tn＝－1×＋0×2＋1×3＋…＋(n－3)·n－1＋(n－2)·n， 两式相减得－Tn＝－1＋＋2＋…＋n－1－(n－2)·n＝－2＋－(n－2)n， 所以Tn＝2(n－4)n＋8. 方法技巧 运用错位相减法求和的关键 判断模型 判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列 错开位置 为两式相减不会看错列做准备 相减 相减时一定要注意最后一项的符号 针对训练 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由Sn＋1＝2Sn＋1， 得Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)， ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1， ∴an＋1＝2