第1板块 三角函数与解三角形、平面向量 层级3～4 创新应用考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：解三角形＋三角函数＋数列 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.所以cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号．由于在△ABC中，B∈(0，π)，且y＝cos B在(0，π)上为减函数，所以角B的取值范围是. ■关联点：三角函数＋数列＋集合 2．(2023·全国乙卷)已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cos an|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝(　 ) A．－1 B．－ C．0 D. 解析：选B　依题意等差数列{an}中，an＝n＋，显然函数y＝cos的周期为3，要使集合S中只有两个元素可利用对称性取值，取a1＝－，则cos a1＝，cos a2＝cos＝，cos a3＝cos＝－1，所以S＝，ab＝－，故选B. ■关联点：平面向量＋三角恒等变换＋三角函数 3．已知向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，sin 2x)，设函数f(x)＝m·n，则下列关于函数y＝f(x)的性质的描述正确的是(　 ) A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 C．周期为2π D．在上是增函数 解析：选D　因为向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，sin 2x)，所以f(x)＝m·n＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.把x＝代入f(x)得f＝＋1，没有取得最值，所以A不成立．把x＝代入f(x)得f＝1，所以B不成立．由于周期T＝＝π，所以C不成立．因为x∈，2x＋∈，又⊆，所以f(x)在上是增函数，所以D成立． ■关联点：平面向量＋椭圆的性质＋圆的性质 4．已知向量b，c和单位向量a满足|a－b|＝2|b|，|c－a|＋|c＋a|＝4，则b·c的最大值为(　 ) A. B. C．2 D. 解析：选C　设a＝(1,0)，b＝(x，y)，由|a－b|＝2|b|可得(x－1)2＋y2＝4(x2＋y2)，化简可得3x2＋3y2＋2x－1＝0，即2＋y2＝.设c＝(x0，y0)，则由|c－a|＋|c＋a|＝4，可得＋＝4，故点(x0，y0)的轨迹为以(－1,0)，(1,0)为焦点，2a＝4的椭圆，其方程为＋＝1.设b，c的夹角为θ，则b·c＝|b||c|cos θ.由圆与椭圆的性质可得，|b|≤＋＝1，|c|≤2，cos θ≤1，三者可同时取等号．故当b，c同向且方向与x轴正方向相反时，b·c取得最大值2.故选C. 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■延伸链：正弦定理―→三角形面积公式―→边角关系―→余弦定理 1.如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知S＝，且asin A＋csin C＝4asin Csin B，则FH＝(　 ) A．2 B. C．3 D．4 解析：选C　由题意，在△ABC中，S＝，asin A＋csin C＝4asin Csin B， 由正弦定理＝＝，S＝acsin B＝，得a2＋c2＝4acsin B＝6. 连接BF，BH，FH，如图所示，在△BFH中，由余弦定理，得 FH2＝FB2＋HB2－2FB·HB·cos∠FBH.又∠FBH＝－B，∴FH2＝FB2＋HB2－2FB·HB·cos＝2(c2＋a2)＋4acsin B＝18.∴FH＝3. ■延伸链：辅助角公式统一角―→T＝求ω―→单调性求最值 2．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin－(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间上的值域为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin－＝－cos 2ωx＋sin ωxcos ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin，因为T＝π，所以＝π，得ω＝1，所以f(x)＝sin，因为x∈，所以2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1，当2x－＝，即x＝时，f(x)min＝－.故选C. ■延伸链：正弦定理―→三角函数和差公式―→辅助角公式―→三角函数的性质―→求最值 3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C. 若a＝3，则△ABC周长的最大值为________． 解析：结合正弦定理，由(2b－c)cos A＝acos C，得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，整理得2sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B，又sin B>0，所以cos