第1板块 层级2 微专题（3）解三角形综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　解三角形综合问题 命题点(一)　利用正弦、余弦定理解三角形　 (1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形． (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． [例1]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S. (1)求角B的大小； (2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值． [解]　(1)由S＝absin C及b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S， 得(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3asin C. 由正弦定理得(a－b＋c)(a＋b＋c)＝3ac， 所以a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝＝， 因为0<B<π，所以B＝. (2)因为a2＋c2－b2＝ac，a＝b＋1，c＝b－2， 所以(b＋1)2＋(b－2)2－b2＝(b＋1)(b－2)， 解得b＝7，所以a＝8，c＝5. 所以cos A＝＝＝， cos C＝＝＝. 　　方法技巧 利用正、余弦定理解三角形的关键点 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形． (3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝absin C形式的面积公式． 　　针对训练 1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. 解：(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π可得A＝. 将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A)， 因为B∈(0，π)，sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A)， 又A，C∈(0，π)， 所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π， 与A＝联立，解得C＝. (2)证明：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得， sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 由正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A(*)． 由余弦定理，得accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2， 代入(*)式并整理得2a2＝b2＋c2. 2．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． 解：(1)由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2，故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， 得－＝1， 化简得－＝1. ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴－2cos Asin B＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×＝. 命题点(二)　与多边形有关的解三角形问题　 [例2]　如图，四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2. (1)求B； (2)若点P是线段AB上的一点，PC＝2，求PA的值． [关键点拨] 切入点 (1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，cos B的方程组，解出cos B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值； (2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长 隐藏点 B＋D＝π⇒cos D＝cos(π－B)＝－cos B在余弦定理中的应用 [解]　(1)设BC＝CD＝x>0， 在△ABC中由余弦定理，得AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28，即x2＋8＝12xcos B，① 又在△ACD中由余弦定理，得AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28，即x2