第二部分 第1讲 选修4－4 坐标系与参数方程（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第1讲　选修4－4　坐标系与参数方程 命题点(一)　极坐标与直角坐标的互化　 [例1]　(2023·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C2：. (1)写出C1的直角坐标方程； (2)若直线y＝x＋m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围． [解]　(1)C1：ρ＝2sin θ，方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝2ρsin θ， 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入得x2＋y2＝2y， 又≤θ≤，所以C1的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1(0≤x≤1,1≤y≤2)． (2)由C2的参数方程可得C2的普通方程为x2＋y2＝4(－2<x<0,0<y<2)． 表示圆心为(0,0)，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图，若直线y＝x＋m过(1,1)，则1＝1＋m，m＝0，若直线y＝x＋m与C2相切，则解得m＝2. 因为直线y＝x＋m与C1，C2均没有公共点，所以m>2或m<0.故m的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 方法技巧 (1)直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 (2)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的取值范围，否则点的极坐标将不唯一． (3)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的取值范围，要注意转化的等价性． 　　针对训练 1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为(3m＋2)x＋(m－3)y＋2m＋5＝0.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－6cos θ. (1)求曲线C的直角坐标方程，以及直线l恒过的定点的极坐标； (2)直线l与曲线C相交于M，N两点，若|MN|＝6，试求直线l的直角坐标方程． 解：(1)曲线C的极坐标方程：ρ＝4sin θ－6cos θ，得ρ2＝4ρsin θ－6ρcos θ， 由y＝ρsin θ，x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2， 得曲线C的直角坐标方程：x2＋y2＝4y－6x， 即(x＋3)2＋(y－2)2＝13， 由直线l：(3m＋2)x＋(m－3)y＋2m＋5＝0，得(3x＋y＋2)m＋2x－3y＋5＝0， 设解得x＝－1，y＝1， 所以，直线l定点的极坐标为. (2)由(1)得，曲线C：(x＋3)2＋(y－2)2＝13，圆心(－3,2)，半径r＝， 由|MN|＝6，得圆心C到直线l的距离d＝2. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，经检验满足题意； 当直线l的斜率存在时，设l：y－1＝k(x＋1)， 即kx－y＋1＋k＝0. ＝2，解得k＝，直线l的方程为3x－4y＋7＝0，所以，直线l的直角坐标方程为：x＝－1或3x－4y＋7＝0. 命题点(二)　参数方程与普通方程的互化　 [例2]　(2023·全国甲卷)已知点P(2,1)，直线l：(t为参数)，α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且|PA|·|PB|＝4. (1)求α； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． [解]　(1)记点A，B对应的参数分别为t1，t2. 令x＝0，得t2＝－，令y＝0，得t1＝－， 则|PA|·|PB|＝ ＝＝＝4， 所以sin 2α＝±1，由题可知α∈[0，π)，所以α＝或α＝.因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴相交，所以α＝. (2)根据(1)得直线l的参数方程为(t为参数)，转化为普通方程为x＋y－3＝0， 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－3＝0. 　　方法技巧 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围． 　　针对训练 2．在同一直角坐标系xOy中，经过伸缩变换后，曲线C1：＋y2＝1变成曲线C2. (1)求曲线C2的参数方程； (2)设A(2，)，点P是C2上的动点，求△OAP面积的最大值，及此时P的坐标． 解：(1)由伸缩变换得到　① 将①代入C1：＋y2＝1得到＋y′2＝1，　② 所以C2的参数方程为(α为参数)． (2)设P(2cos α，sin α)(0≤α<2π)， 直线OA：x－2y＝0，所以P到直线OA的距离为 d＝＝≤， 所以S△OAP＝|OA|·d＝×d≤××＝2， 当α＝或α＝时，△OAP面积