第6板块 层级2 微专题（4）导数与函数的零点问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(四)　导数与函数的零点问题 命题点(一)　探求函数零点的个数　 [例1]　已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1. 证明：(1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． [证明]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－. 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0， 故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0. 又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)存在唯一的极值点． (2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0， 所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α. 由α>x0>1得<1<x0. 又f＝ln－－1＝＝0， 故是f(x)＝0在(0，x0)内的唯一根． 所以f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 　　方法技巧 求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤 第一步 将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题 第二步 利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象 第三步 结合图象求解 　　针对训练 1．已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． 解：(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2. 当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)． (2)证明：因为x2＋x＋1>0， 所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝－3a， 则g′(x)＝≥0， 仅当x＝0时，g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点． 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0， 故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． 命题点(二)　由函数零点的个数求参数　 [例2]　(2023·四川校联考一模)已知函数f(x)＝x2－2ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)令g(x)＝f(x)－x2＋ax(a为常数)，若g(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题意可知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝. 令f′(x)<0，解得0<x<1，令f′(x)>0，解得x>1. 所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)． (2)由题意可知，g(x)＝f(x)－x2＋ax＝ax－2ln x，其定义域为(0，＋∞)， 则g(x)有两个零点x1，x2，即g(x)＝0有两解，即＝有两解． 令φ(x)＝(x>0)，则φ′(x)＝(x>0)． 令φ′(x)>0，解得0<x<e；令φ′(x)<0，解得x>e. 则φ(x)的单调递减区间是(e，＋∞)，单调递增区间是(0，e)， 可知φ(x)≤φ(e)＝＝. 又因为φ(1)＝0，且当x趋近于＋∞时，φ(x)趋近于0，如图所示， 要使得＝有两解，只需0<<， 所以0<a<.故实数a的取值范围为. 　　方法技巧 已知函数零点个数求参数范围的策略 (1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件． (2)先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件．此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解． 　　针对训练 2．已知函数f(x)＝ex－a(x－1)． (1)证明：当a＝1时，f(x)≥2恒成立； (2)若函数f(x)在R上只有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)证明：当a＝1时，f(x)＝ex－x＋1， 则f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，可得x＝0， 当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． ∴f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝2. ∴f(x)≥f(0)＝2. (2)当a＝0时，f(x)＝ex＞0恒成立，无零点，与题意不符． 当a＜0时，f′(x)＝ex－a＞0，f(x