第6板块 层级2 微专题（2）函数的方程及实际应用（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　函数的方程及实际应用 命题点(一)　函数的零点　 [例1]　已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2只有两个零点，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C. D.∪{6} [解析]　当x≥1时，由f(x)－2＝ln x－1＝0，得x＝e，此时函数有一个零点．所以当x<1时，y＝f(x)－2＝x2＋4x＋a－2有且仅有一个零点，即a＝－x2－4x＋2在上有唯一解，即y＝－x2－4x＋2的图象与直线y＝a有且仅有一个交点． 由二次函数图象可得y＝－x2－4x＋2的图象如图所示，由图象可知，当a≤－3或a＝6时，y＝－x2－4x＋2的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，故实数a的取值范围为∪.故选D. [答案]　D 　　方法技巧 已知函数有零点求参数范围常用的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围 分离参数法 将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 　　针对训练 1．已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝______. 解析：由题设，2x＋ay＋7＝0过定点，f(x)关于直线x＝－1对称，且在(－∞，－3)，(－1,1)上均单调递减，在(－3，－1)，(1，＋∞)上均单调递增，它们的图象如图所示，要使f(x)与直线有三个交点，只需y＝－x2－2x＋3与2x＋ay＋7＝0(a≠0)相切且切点横坐标x0∈(－3，－1)即可， 所以ax2＋2(a－1)x－3a－7＝0有且只有一个根，即Δ＝4(a－1)2＋4a(3a＋7)＝0，解得a＝－或a＝－1. 当a＝－时，代入方程可得x0＝－5∉(－3，－1)；当a＝－1时，代入方程可得x0＝－2∈(－3，－1)． 综上，a＝－1. 答案：－1 2．已知函数f(x)＝若x1，x2，x3均不相等，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1x2x3的取值范围是__________． 解析：不妨设x1<x2<x3，由图可得，|log2x1|＝|log2x2|＝－x3＋3∈(0,1)，所以log2x1＝－log2x2，即x1x2＝1，由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，得x3∈(2,3)， 所以x1x2x3的取值范围是(2,3)． 答案：(2,3) 命题点(二)　嵌套函数的零点问题　 [例2]　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是(　 ) A. B.∪(0,1) C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞) [关键点拨] 切入点 换元，令u＝f(x) 隐藏点 分a＝0，a≠0两种情况进行讨论 迁移点 由f(f(x))＝0可得出f(x)的值或取值范围 　　[解析]　令u＝f(x)，则f＝0.①当a＝0时，若u≤0，f＝0；若u>0，f＝log2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1.如图所示． 满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不合乎题意；②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，f(u)＝log2u＝0，得u＝1.所以由f(f(x))＝0，得f(x)＝1，当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，得x＝2，因为关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数根，则方程f(x)＝1在x∈(－∞，0]时无解，若a>0且x≤0时，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故0<a<1；若a<0且x≤0时，f(x)＝a·2x<0，合乎题意．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．故选B. [答案]　B 　　方法技巧 嵌套函数与复合函数类似，但因无法直接求出方程的根，对f(x)换元后，构造出两个方程(函数)，结合基本函数的图象特点，通过研究基本方程解的存在情况，确定嵌套函数的根的情况，数形结合是求解的利器． 　　针对训练 3．已知函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)－f(x)＋t＝0有3个不同的实数根，则t的取值范围为(　 ) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C. D．(0，－3) 解析：选A　当x∈(－∞，0]时，f(x)＝ln，单调递减， 当x>0时，f(x)＝＋，f′(x)＝x－＝， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0,1)时， f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x＝1时，f(x)取得最小值，f(1)＝，画出f(x)的图象，令f(x)＝m，则方程为2m2－m＋t＝0，要想方程2f2(x)－f(x)＋t＝0有3个不同的实数根，结合f(x)的图象可知需要满足2m2－m＋t＝0有两个不同的