第4板块 概率与统计 层级3～4 创新应用考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：古典概型＋直线与圆的位置关系 1．在[－2,3]上随机取一个数k，则事件“直线y＝kx＋3与圆x2＋(y＋2)2＝9有公共点”发生的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　若直线y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0与圆x2＋(y＋2)2＝9有公共点，则圆心到直线的距离d＝≤3，故3≥5，解得k≥或k≤－，由几何概型的概率公式，得事件“直线y＝kx＋3与圆x2＋(y＋2)2＝9有公共点”发生的概率为P＝＝，故选A. ■关联点：古典概型＋椭圆 2．某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率e≥的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，所以a>b，而e＝≥，解得0<≤，投掷骰子得到点数(a，b)共有36种，其中满足0<≤的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)，共9种，所以所求概率为＝. ■关联点：几何概型＋三角恒等变换 3.勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　设大正方形的边长为1，最小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos θ－sin θ，由题意可得(cos θ－sin θ)2＝，显然0<θ<，所以cos θ>sin θ>0，所以cos θ－sin θ＝.又cos2θ＋sin2θ－2cos θsin θ＝，所以2cos θsin θ＝.所以(cos θ＋sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ＋2cos θsin θ＝.所以cos θ＋sin θ＝.所以sin θ＝. ■关联点：统计＋概率 4．某校高二(10)班50名学生的身高(单位：cm)数据均在区间[150,180]，其频率分布直方图(将频率视为概率)如图所示，则下列说法正确的是(　 ) A．a＝0.2 B．估计该班学生身高的中位数为160 cm C．估计该班学生身高的平均值大于165 cm D．估计该班学生身高不低于165 cm的概率为0.4 解析：选D　对于A，(0.02×3＋2a＋0.06)×5＝1，解得a＝0.04，故A错误；对于B，由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为(0.02＋0.04＋0.06)×5＝0.6>0.5，设该班学生身高的中位数为x cm，所以(0.02＋0.04)×5＋(x－160)×0.06＝0.5，解得x≈163.3 cm，故B错误；对于C，由频率分布直方图可得，身高的平均值＝[0.02×(152.5＋172.5＋177.5)＋0.04×(157.5＋167.5)＋0.06×162.5]×5＝164 cm，故C错误；对于D，由频率分布直方图可得，该班学生身高不低于165 cm的频率为(0.04＋0.02＋0.02)×5＝0.4，故估计该班学生身高不低于165 cm的概率为0.4，故D正确． ■关联点：几何概型＋解三角形 5.如图，若AD是△ABC的角平分线，则AD2＝AB·AC－BD·CD.该结论由英国数学家斯库顿发现，故称之为斯库顿定理，常用于解决三角形中的一些角平分线问题．若图中BD＝4，AD＝5，AB＝6.在△ABC内任取一点P，则点P恰好落在△ABD内的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设AC＝x，CD＝y，由角平分线定理可得＝，即＝，整理得2x＝3y　①，由斯库顿定理得AD2＝AB·AC－BD·CD，即25＝6x－4y　②，由①②得x＝，y＝5.即AC＝，CD＝5，则BC＝BD＋CD＝9，所以点P恰好落在△ABD内的概率为＝＝.故选C. 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■链接点：频率分布直方图―→样本容量―→频率―→数字特征与频率分布直方图的关系 1．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共3 000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图(如图所示)．已知成绩落在[50,60)内的人数为16，则下列结论正确的是(　 ) A．样本容量n＝1 000 B．图中x＝0.025 C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分