第4板块 层级2 微专题（3）大题专攻——“概率与统计”大题的规范解题路径（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　大题专攻——“概率与统计”大题的规范解题路径 概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图　 1．辨析：根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型；根据题意梳理两个变量的相关条件，建立独立性检验模型．理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等条件；辨析是等可能事件、互斥事件还是对立事件． 2．辨型：即判断事件的属性——等可能性与有限性，确定所求概率模型为古典概型；等可能性与无限性，确定所求概率模型为几何概型． 3．辨图：即对所给的频率分布直方图、茎叶图等进行初步识别，频率分布直方图应注意纵轴表示的是“频率/组距”，故小矩形的面积表示各组频率的取值情况．统计图表都是用来统计、分析相关数据的工具．　 [解题示范] [典例]　为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： SO2 PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2 列联表： 　　　　　SO2 PM2.5　　　　 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [关键步骤] ❶辨析：由表格数据及题意易得本题利用频率估计概率即可． ❷辨图表：利用图表找出符合条件的天数是解决此题的关键． ❸辨析：由2×2列联表知此问题为独立性检验． ❹利用K2的值，得出结论． [解题样板] (1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数有 ，　　　　　　　　　　　　► 所以该市一天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64.❶ (2) 由所给数据，可得：　　　　　　　► 　　　SO2 PM2.5　　 [0,150] (150,475] 合计 [0,75] 64 16 80 (75,115] 10 10 20 合计 74 26 100 ❷ (3)根据2×2列联表中的数据可得 ❸　　　　　　　► ＝≈7.484>6.635， 故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．❹ [微点提醒] 灰影处易算错满足条件的天数． 此处应准确填写2×2列联表所需内容． 独立性检验中K2值的计算公式很复杂，在解题时易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错． [应用体验] 　马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下： 　 跑步 公里数 性别　 [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35] 男 4 6 10 25 10 5 女 2 5 8 17 6 2 (1)分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)，[15,25)，[25,35]的概率； (2)已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关. 初级 高级 合计 男 女 合计 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)由频数分布表可知，估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)的概率为＝0.17， 跑步公里数为[15,25)的概率为＝0.6， 跑步公里数为[25,35]的概率为＝0.23. (2)2×2列联表如下： 初级 高级 合计 男 20 40 60 女 15 25 40 合计 35 65 100 因为K2＝≈0.18<3.841， 所以没有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关． 学科网（北京）股份有限公司 $$