第4板块 层级2 微专题（1）统计与统计案例（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　统计与统计案例 命题点(一)　用样本估计总体　 [例1]　从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ [解]　(1)补全后的频率分布直方图如图所示． (2)质量指标值的样本平均数为＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． 方法技巧 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 针对训练 1．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果=2＝，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 解：(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)因为2＝2＝，＝11＝>，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 命题点(二)　一元线性回归模型及其应用　 [例2]某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天的销量y(单位：吨)的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图. x t xiyi tiyi 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中t＝. (1)根据散点图判断，＝x＋与＝cx－1＋d哪一个更适合作为y关于x的回归方程；(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果，建立y关于x的回归方程； (3)若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据(2)的线性回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？ 附：线性回归方程＝x＋中，＝＝，＝－. [解]　(1)根据散点图可知，＝cx－1＋d更适合作为y关于x的线性回归方程． (2)令t＝，则＝ct＋d， 所以c＝＝＝5， 所以d＝－c＝10－5×3＝－5， 所以＝cx－1＋d＝－5， 故y关于x的非线性回归方程为＝－5. (3)一天的利润为W＝ (x－0.25)＝(x－0.25)＝6.25－5≤6.25－5×2＝6.