第3板块 层级2 微专题（2）立体几何中平行与垂直关系的证明（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　立体几何中平行与垂直关系的证明 命题点(一)　空间中平行、垂直关系的证明　 [例1](2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO. (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P­ABC的体积． [解]　(1)证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，所以＝＝， 所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB. 记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA， 所以∠HBA＝∠AOB. 所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF， 故CF＝AF，F是AC的中点． 因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC. 因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC， 所以EF∥DO. 又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC，所以FO⊥BC. 又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P­BC­F的平面角， 所以二面角P­BC­F的大小为120°. 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB， 则∠POM是二面角P­BC­M的平面角， 所以∠POM＝60°. 在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2， 得PO＝2，所以PM＝. 所以三棱锥P­ABC的体积VP­ABC＝S△ABC×PM＝××2×2×＝. 方法技巧 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． 针对训练 1.在如图所示的多面体中，ABCD是正方形，A，D，E，F四点共面，AF∥平面CDE. (1)求证：BF∥平面CDE； (2)若AD＝DE＝3，AF＝1，EF＝，求证：AD⊥平面CDE. 证明：(1)由ABCD是正方形，可知AB∥DC， 而AB⊄平面CDE，所以AB∥平面CDE， 又AF∥平面CDE，AB∩AF＝A， 所以平面ABF∥平面CDE， 又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE. (2)因为AF∥平面CDE，AF⊂平面ADEF，平面CDE∩平面ADEF＝DE，所以AF∥DE. 如图，在线段ED上取点G，使得EG＝2，于是DG＝1＝AF， 而AF∥DG，所以ADGF是平行四边形． 所以FG＝AD＝3，又EF＝， 于是EF2＝EG2＋FG2， 即FG⊥EG，则AD⊥ED. 因为ABCD是正方形，有AD⊥DC， 而DC∩DE＝D，所以AD⊥平面CDE. 2.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，O是AC的中点． (1)证明：BC⊥平面B1OA1； (2)若点A1到平面OB1C1的距离为，求AC. 解：(1)证明：连接A1C，因为四边形ACC1A1是菱形，所以AC＝AA1，因为∠A1AC＝60°，所以△AA1C为等边三角形，所以A1O⊥AC，因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB∥A1B1，∠ABC＝90°，即AB⊥BC，所以BC⊥A1B1，又A1O∩A1B1＝A1，A1O，A1B1⊂平面B1OA1，所以BC⊥平面B1OA1. (2)设AC＝2x，可得BO＝x，AB＝x，由△AA1C为正三角形，可得OA1＝x， 在△OCC1中， OC1＝＝x， 在Rt△OB1C1中，OB1＝＝x，可得Rt△OB1C1的面积为×x×x＝， VB1­OA1C1＝x××2x×x＝x3，VA1­OB1C1＝××x2＝x2，又由VB1­OA1C1＝VA1­OB1C1，得x2＝x3，解得x＝1，故AC＝2. 命题点(二)　平面图形的翻折问题　 [例2]　如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝AD＝2BC＝2，∠ABC＝，E为AD的中点，以BE为折痕将△ABE折起，使点A到达点P的位置，连接PD，PC. (1)证明：平面PED⊥平面BCDE； (2)当PC＝2时，求点D到平面PEB的距离． [解]　(1)证明：在梯形ABCD中，∠ABC＝， 所以∠BAE＝， 在△ABE中，AB＝2，AE＝1， 所以BE＝＝， 所以AE2＋BE2＝AB2， 即∠AEB＝，梯形ABCD为直角梯形． 因为BE⊥ED，BE⊥PE，PE∩ED＝E， 所以BE⊥平面PED， 又因为BE⊂平面BCDE， 所以平面PED⊥平面BCDE. (2)因为平面PED∩平面BCDE＝ED，CD⊥ED， 所以CD⊥平面PED， 又PD⊂平面