第3板块 层级2 微专题（1）球的切、接问题与截面问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　球的切、接问题与截面问题 命题点(一)　几何体的内切球　 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等． (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合． (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合． (4)棱长为a的正方体内切球半径为. (5)棱长为a的正四面体内切球的半径r＝a，即高的. [例1]　(2023·徐州、淮安、宿迁、连云港模拟)已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则a的最大值为________． [关键点拨] 切入点 求圆锥的内切球半径 迁移点 涉及与旋转体有关问题，想不到作出轴截面，借助平面几何知识求解 隐藏点 圆锥轴截面正三角形的内切圆是圆锥内切球的截面大圆 [解析]　正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正 方体棱长a最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球， 底面半径为2，母线长为4的圆锥轴截面正△SAB的内切圆O是该圆锥内切球O的截面大圆，如图， 正△SAB的高SO′＝SA＝2，则内切圆O的半径即球半径R＝SO′＝，则a＝2R＝，解得a＝，所以a的最大值为. [答案]　 方法技巧 处理球的“切”问题的求解策略 与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切于多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 针对训练 1．已知△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(　 ) A.π B.π C.π D.π 解析：选B　旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE＝OF＝r(r为内切球的半径)，故AO＝＝r，CO＝＝r，故5＝AO＋OC＝r＋r，故r＝，故旋转体的内切球的表面积为4π×2＝π. 2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝CD＝1，BC⊥CD，则鳖臑ABCD内切球的表面积为(　 ) A．3π B．(3－2)π C．12π D．(3＋2)π 解析：选B　因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD， 设四面体ABCD内切球的球心为O， 则VA­BCD＝VO­ABC＋VO­ABD＋VO­ACD＋VO­BCD＝r内(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)， 所以r内＝， 因为四面体ABCD的表面积为SA­BCD＝S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD＝1＋， 又因为四面体ABCD的体积VA­BCD＝， 所以r内＝， 所以S球＝4πr2＝(3－2)π. 命题点(二)　几何体的外接球　 空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题. [例2]　(1)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________． (2)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________. [解析]　(1)设球的半径为R.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R为体对角线长AC1＝＝4，即2R＝4，R＝2，故Rmax＝2；如图，分别取AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG＝4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球的半径达到最小，即Rmin＝2.综上，R∈[2，2]． (2)如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝××3＝.将三棱锥S­ABC补形为正三棱柱SB1C1­ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA.又球的半径R＝OA＝2，OA2＝OO＋O1A2，所以4＝SA2＋3，得SA＝2. [答案]　(1)[2，2]　(2)2 方法技巧 多面体的外接球的求解策略 涉及球与棱柱、棱锥的问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心的位置，弄清球的半径(或直径)