第2板块 数列 层级3～4 创新应用考法（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：数列＋导数＋函数 1．若x1，x2是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b>0)的导函数的两个不同零点，且x1，x2,2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a＋b＝(　 ) A. B. C. D．4 解析：选A　∵f′(x)＝x2＋2ax＋b，∴x1＋x2＝－2a<0，x1x2＝b>0，所以x1，x2为两个不等的负数．不妨设x1<x2<0，则必有x1，x2,2成等差数列，x1,2，x2成等比数列，故有2x2＝x1＋2，x1x2＝4，解得x1＝－4，x2＝－1.所以a＝，b＝4，a＋b＝. ■关联点：数列＋充分必要条件 2．(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则(　 ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：选C　若{an}为等差数列，设其公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)·，－＝a1＋(n＋1－1)·－＝，为常数，所以为等差数列，即甲⇒乙；若为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)·(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C. ■关联点：数列＋直线方程＋圆 3．正项数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝50，若直线l：3x＋4y＋an－1＋an＋1－3＝0(n∈N*)与圆C：(x－1)2＋y2＝a(an>0)相切，则S15＝(　 ) A．90 B．70 C．120 D．100 解析：选C　由题易知圆C的圆心为(1,0)，半径r＝an.由直线l：3x＋4y＋an－1＋an＋1－3＝0(n∈N*)与圆相切得，圆心(1,0)到直线l的距离d＝＝r＝an，整理得＝an，即2an＝an－1＋an＋1.所以{an}为等差数列．在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，则2×(50－10)＝10＋S15－50，即S15＝120. ■关联点：数列＋集合＋函数 4．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn<1 000成立的n的最大值为(　 ) A．9 B．32 C．35 D．61 解析：选C　数列{an}的前n项依次为1,2,3,22,5,7，23，….利用列举法可得，当n＝35时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前35项可重新排列为1,3,5,7,9,11，13，…，55,57,59,2,4,8,16,32，则S35＝30＋×2＋＝302＋26－2＝962<1 000，当n＝36时，S36＝962＋61＝1 023>1 000，所以n的最大值为35.故选C. ■关联点：数列＋函数＋不等式 5．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，则(　 ) A．a1<a3，a2<a4 B．a1>a3，a2<a4 C．a1<a3，a2>a4 D．a1>a3，a2>a4 解析：选B　因为ln x≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比数列的公比q<0. 若q≤－1，则a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，与ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－1<q<0，所以a1－a3＝a1(1－q2)>0，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2<a4. 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■延伸链：递推公式―→an＋1＝Sn＋1－Sn―→等比数列―→讨论n＝1是否符合―→求和 1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn(Sn＋3n)，则S2 023＝(　 ) A．32 023－1 B．32 023＋1 C. D. 解析：选D　因为Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn