第17章 微专题4 必备素养(推理能力) 与勾股定理有关的代数证明（课件PPT）-【思而优·全程突破】2024年春八年级数学下册同步训练（人教版）

第十七章　勾股定理 微专题4　必备素养(推理能力) 与勾股定理有关的代数证明 结构特点：已知三角形的三边关系，判断三角形的形状． 处理策略：利用勾股定理及其逆定理求解，常用因式分解、等面积法．　 首页 1．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a＋b＝7，ab＝1，c2＝47，试判断△ABC的形状，并说明理由．   首页 解：△ABC是直角三角形．理由如下： ∵a＋b＝7，ab＝1， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2＝47， 又∵c2＝47， ∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 2．已知在△ABC中，BC＝m－n(m>n>0)，AC＝2 ，AB＝m＋n. (1)求证：△ABC是直角三角形； 首页 证明：∵BC2＝m2－2mn＋n2， AC2＝(2 )2＝4mn， ∴AC2＋BC2＝m2－2mn＋n2＋4mn＝(m＋n)2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； (2)当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式． 解：∵∠A＝30°， ∴BC＝ AB，即m－n＝ (m＋n)， 整理得m＝3n. 3．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜的发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.请你写出证明过程． 首页 (1)在△ABC中，已知AC＝3.5，BC＝12，AB＝12.5，请你用“海伦—秦九韶公式”求△ABC的面积； 首页 (2)勤于思考的某同学认为(1)中的运算太繁，并想到了不同于(1)的解法，请你用他的解法求(1)中△ABC的面积． 首页 首页 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 解：∵S五边形ABCDE＝S梯形ABCF＋S梯形AFDE＝S正方形ABGE＋2S△BCG， 即(b＋a＋b)·b＋(a＋a＋b)·a＝c2＋2×ab， ∴ab＋b2＋a2＋ab＝c2＋ab， ∴a2＋b2＝c2. 4．“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝. 解决问题： 解：∵AC＝3.5，BC＝12，AB＝12.5， ∴p＝＝14， ∴S△ABC＝ ＝＝21； 4．“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝. 解决问题： 解：∵AC＝3.5，BC＝12，AB＝12.5， ∴AC2＝＝，BC2＝122＝144，AB2＝＝， ∴AC2＋BC2＝＋144＝＋＝＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC＝××12＝21. $$