第一板块 课时验收评价(四) 综合性考法针对练-解三角形综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第一板块 课时验收评价（四） 综合性考法针对练—— 解三角形综合问题 1．(2023·安康三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A＝－，△ABC的面积为a，则bc的最小值为(　 ) A．16 B．16 C．48 D．24 解析：选C　因为0<A<π且tan A＝－，则A＝，因为S△ABC＝bcsin A＝bc＝a，所以a＝，由余弦定理可得＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≥48，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，故bc的最小值为48. 2．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　 ) A.＋表高 B.－表高 C.＋表距 D.－表距 解析：选A　由题意，知△ABH∽△EDH， 所以＝，所以EH＝.① 由题意，知△ABC∽△GFC，所以＝， 所以GC＝＝.② ②－①，得GC－EH＝＝， 所以AB＝＝＝＋DE，所以AB＝＋表高．故选A. 3．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若a2sin C＝2sin A，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　 ) A. B. C. D．1 解析：选A　由a2sin C＝2sin A，得a2c＝2a，∴ac＝2.由(a＋c)2＝6＋b2，得a2＋c2－b2＝6－2ac＝2，故S＝＝＝. 4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A＝30°，BD＝2AD，AC＝5，则△ABC的面积为________． 解析：因为BD＝2AD，设AD＝m，则BD＝2m，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos A＝m2＋75－15m，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝9m2＋75－45m，因为CD⊥BC，即BD2＝BC2＋CD2，于是得10m2－60m＋150＝4m2，解得m＝5，则AB＝15, 所以△ABC的面积S＝AB·ACsin A＝×15×5×sin 30°＝. 答案： 5.在运动会的升旗仪式上，从坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10米(如图)，则旗杆的高度为______米． 解析：如图，记看台上的一列为BC，旗杆为OP，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∠PBO＝60°，BC＝10米，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，∴在△PBC中，由正弦定理可知PB＝·sin∠PCB＝20(米)，∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin∠PBO＝20×＝30(米)，即旗杆的高度为30米． 答案：30 6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin Asin C＝1＋2cos Acos C，a＋c＝3sin B，则b的最小值为________． 解析：因为2sin Asin C＝1＋2cos Acos C，整理可得cos(A＋C)＝－，因为A＋B＋C＝π，所以cos B＝，又因为0<B<π，所以B＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，又因为a＋c＝3sin B＝，所以b2＝－3ac≥－32＝－＝，所以b的最小值为，当且仅当a＝c＝时等号成立． 答案： 7．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知A＋C＝2B. (1)若b＝5，c＝3，求sin C； (2)若a＋c＝2b，求证：△ABC是等边三角形； (3)若cos A＝，求cos 2C的值． 解：(1)在△ABC中，A＋C＝2B，则B＝，sin B＝，又b＝5，c＝3，由正弦定理得sin C＝sin B＝×＝. (2)证明：在△ABC中，A＋C＝2B，则B＝，cos B＝，则有b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，又a＋c＝2b，则b2＝4b2－3ac，即b2＝ac，则有＝ac，则有a＝c，又b2＝ac，则有a＝b＝c，则△ABC是等边三角形． (3)在△ABC中，A＋C＝2B，则B＝，cos B＝，sin B＝，又cos A＝，0<A<π，则sin A＝，则cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝，则cos 2C＝