第三板块 课时验收评价(五）创新应用考法强化练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 课时验收评价（五）创新应用考法强化练 1．中国古代数学典籍《算数书》，记载有一个计算圆锥体积的近似公式：设圆锥底面周长为L，高为h，则其体积V的近似公式为V≈L2h，根据该公式圆锥底面周长与底面圆半径之比约为(　 ) A．2 B．3 C．6 D．12 解析：选C　圆锥底面周长L与底面圆半径r之比为2π，由圆锥体积V＝πr2h≈L2h，得≈12π，即(2π)2≈12π，所以π≈3，所以圆锥底面周长与底面圆半径之比约为6. 2.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)，若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆柱底面圆的半径为r, 则AM＝2r，AB＝2a，CD＝2b＝2r， ∵＝，∴＝，∴＝， ∴cos∠BAM＝，∴∠BAM＝. 3．科技是国家强盛之根，创新是民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9 050 m，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 m，高19 m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(　 ) (参考数据：9.52≈90，9.53≈857,315×1 005≈316 600，π≈3.14) A．9 064 m3 B．9 004 m3 C．8 944 m3 D．8 884 m3 解析：选A　由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝＝9.5(m)，而圆台另一个底面的半径为r＝1(m)，则V半球＝××π×9.53≈π(m3)， V圆柱＝π×9.52×14≈1 260π(m3)，V圆台＝×(9.52π＋＋π)×31.5≈π(m3)， 所以V＝V半球＋V圆柱＋V圆台≈π＋1 260π＋π≈9 064(m3)． 4．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3BC，P为斜边AB上一动点，沿CP将三角形ACP折起形成直二面角A′­CP­B，记∠ACP＝θ，当A′B最短时，sin θ＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　如图2，过点B作BM⊥CP于点M，连接A′M，A′B，由于平面A′CP⊥平面BCP，且两平面的交线为CP，BM⊂平面BCP，所以BM⊥平面A′CP，A′M⊂平面A′PC，故A′M⊥MB，所以A′B2＝A′M2＋BM2，由于在直角三角形BMC中，∠BCP＝90°－θ，所以BM2＝(BC·sin∠BCP)2＝BC2·cos2θ，CM2＝(BC·cos∠BCP)2＝BC2·sin2θ.在△A′CM中，由余弦定理得A′M2＝A′C2＋CM2－2A′C·CMcos θ＝(3BC)2＋(BCsin θ)2－2(3BC)·(BCsin θ)cos θ，所以A′B2＝A′M2＋BM2＝(3BC)2＋(BCsin θ)2－2(3BC)(BCsin θ)cos θ＋BC2·cos2θ＝10BC2－3BC2sin 2θ，故当sin 2θ＝1时，A′B2最小，此时θ＝，故sin θ＝.故选B. 5.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是(　 ) A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 B．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为2 C．勒洛四面体ABCD的体积是8π D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4－ 解析：选D　由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图1所示，故A错误；根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的棱长，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故B错误；如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BO并延长交勒洛四面体的曲面于点E，则OE就是勒洛四面体内切球的半径．如图3, 在正四面体ABCD中，M为△BCD的中心，O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BM，BO，AM，由正四面体的性质可知O在AM上．因为AB＝4, 所以BM＝×＝，则AM＝＝.因为BO2＝BM2＋OM2＝(AM－OM)2，即BO2＝2＋OM