第三板块 课时验收评价(三）综合性考法针对练-立体几何中平行与垂直关系的证明（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 课时验收评价（三） 综合性考法针对练——立体几何中平行与垂直关系的证明 1.在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN，证明： (1)点D在平面B1MN内； (2)MN⊥BD. 证明：(1)连接MD，因为在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上， 且AM＝2MA1，C1N＝2CN， 所以由平行线性质定理得到MD∥B1N， 所以四边形MDNB1是平面图形， 所以点D在平面B1MN内． (2)连接AC，BD，因为在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，所以AC⊥BD，AA1⊥BD，又因为AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1， 所以BD⊥平面ACC1A1，因为MN⊂平面ACC1A1，所以MN⊥BD. 2.如图，几何体E­ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD. 又EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC⊂平面EOC， 所以BD⊥平面EOC，因为EO⊂平面EOC，所以BD⊥EO， 又O为BD的中点，所以BE＝DE. (2)取AB的中点N，连接DN，MN. 因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE. 又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC. 因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，MN，DN⊂平面DMN，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC. 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，E是CD的中点，F是底面A1B1C1D1上的动点，且满足AF⊥BE. (1)求证：平面AEF⊥平面ABCD； (2)当AF＝EF时，求点C到平面BEF的距离． 解：(1)证明：∵AE＝BE＝2，AB＝4， ∴AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE， 又∵BE⊥AF，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，∴BE⊥平面AEF， 又∵BE⊂平面ABCD，∴平面AEF⊥平面ABCD. (2)取AE中点G，连接FG， ∵AF＝EF，∴AE⊥FG， 由(1)知平面AEF⊥平面ABCD，可知FG⊥平面ABCD，∴FG＝2，EF＝＝. 由(1)知BE⊥平面AEF， EF⊂平面AEF，∴BE⊥EF， 设点C到平面BEF的距离为h，∵VC­BEF＝VF­BCE， ∴××BE×EF×h＝××BC×CE×FG，解得h＝＝， 所以点C到平面BEF的距离为. 4．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1­BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H， 由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1， 所以A1H⊥平面BB1C1C， 即四棱锥A1­BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°， 则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1. 又AA1＝2，∠ACA1＝90°， 所以A1C1＝CA1＝. 由S△CA1C1＝·CA1·A1C1＝·A1H·CC1， 得A1H＝＝＝1， 故四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 5.已知在空间几何体ABCDE中，△ABC，△BCD，△ECD都是边长为2的正三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD. (1)A，E，B，D四点是否共面？请说明理由； (2)求点C到平面ABE的距离． 解：(1)取CD，BC的中点M，N，连接EM，AN，MN， 则MN∥BD，EM＝AN＝＝. ∵△ECD为等边三角形，M为CD的中点，则EM⊥CD， ∵平面ECD⊥平面BCD， 平面ECD∩平面BCD＝CD， EM⊂平面ECD，故EM⊥平面BCD， 同理可证AN⊥平面BCD，∴EM∥AN， 又∵EM