第二板块 课时验收评价(五) “数列”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第二板块 课时验收评价（五） “数列”大题规范增分练 1．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－＋. 当n＝1时，a1＝S1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－＋－， ∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1. 等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1， ∴an－an－1＝1. ∴数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知数列{an}的公差为1. 由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝2－， 所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，若由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)因为3n2－29n－2Sn＝0，所以Sn＝n2－n. 当n＝1时，a1＝－＝－13； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝3n－16. 经检验，a1＝－13满足an＝3n－16， 故数列{an}的通项公式为an＝3n－16. (2)设bm＝an，即2m＝3n－16，m，n∈N*. 由bm＝2m，所以bm＋1＝2m＋1＝2·2m＝2(3n－16)＝6n－32＝3－16， 由2n－∉N*，可知bm＋1∉{an}，即bm＋1不是两个数列的公共项． bm＋2＝2m＋2＝22·2m＝4(3n－16)＝12n－64＝3(4n－16)－16， 由4n－16∈N*，可知bm＋2∈{an}，所以bm＋2是两个数列的公共项， 因此，若ck＝bm＝an，则ck＋1＝bm＋2＝a4n－16， 所以＝＝＝4，且c1＝2， 所以两数列的公共项所构成的新数列{cn}是以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以数列{cn}的前n项和Tn＝＝. 3．已知等比数列{an}是各项均为正数的递增数列，3a4,2a5，a6成等差数列，且满足a＝9a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log3a2n－1(n∈N*)，求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，且q>1，由条件3a4,2a5，a6成等差数列， 可得4a5＝3a4＋a6，即4a4q＝3a4＋a4q2， 可得q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1(舍去)， 又因为a＝9a4，即aq4＝9a1q3，即a1＝3. 所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以an＝3n(n∈N*)． (2)因为bn＝log3a2n－1＝2n－1， 所以＝＝， 数列的前n项和 Tn＝＋＋＋…＋ ＝×＝＝. 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，Sn＝an＋1＋1. (1)证明：数列{Sn－1}为等比数列，并求出Sn； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)证明：由已知Sn＝(Sn＋1－Sn)＋1， 整理得Sn＋1＝3Sn－2， 所以Sn＋1－1＝3(Sn－1)， 令n＝1，得S1＝a2＋1＝4，所以S1－1＝3， 所以{Sn－1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以Sn－1＝3×3n－1＝3n，所以Sn＝3n＋1. (2)由(1)知，Sn＝3n＋1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－(3n－1＋1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式， 所以an＝ 所以＝ 所以Tn＝＋＋…＋＝＋ ＝－. 5．已知各项均为正数且递增的等比数列{an}满足：2a3，a4,2a5成等差数列，前5项和S5＝31. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列a1，a2，a2，a2，a3，a3，a3，a3，a3，…，an，an，…，a，…的前100项和． 解：(1)由2a3，a4,2a5成等差数列得：5a4＝2a3＋2a5， 设{an}的公比为q，则2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝1， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2＝100得n＝10， 所以所求数列的前100项和T100＝a1＋3a2＋5a3＋…＋19a10， 即T100＝1＋3×2＋5×22＋…＋19×29，① 所以2T100＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋17×29＋19×210，② ①－②得：－T100＝1＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×29－19×210＝(2＋22＋23＋24＋…＋210)－19×