第二板块 课时验收评价(四) 综合性考法针对练-数列中的不等关系（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第二板块 课时验收评价（四） 综合性考法针对练—— 数列中的不等关系 1．已知数列满足数列的前n项和为An＝n. (1)求数列的通项公式及前n项和Sn； (2)若数列的前n项和为Tn，求Sn－8Tn的最小值． 解：(1)由已知得当n＝1时，log2a1＝A1＝1，解得a1＝2； 当n≥2时，log2an＝An－An－1＝n(n＋1)－n(n－1)＝n，∴an＝2n，当n＝1时也符合． ∴an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2. (2)由(1)知＝，∴Tn＝＝1－n， ∴Sn－8Tn＝2n＋1－2－8＋＝2n＋1＋－10≥2－10＝8－10＝－2， 当且仅当2n＋1＝，即n＝1时取得最小值－2. 2．已知正项等比数列{an}和其前n项和Sn满足a5－a1＝2S4，a2·a3＝a4. (1)求{an}的通项公式； (2)在am和am＋1之间插入m个数，使得这m＋2个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为bm，求满足bm>50的正整数m的最小值． 解：(1)依题意，设等比数列{an}的公比为q，则q>0，an≠0， 因为a2·a3＝a4，所以a1q·a1q2＝a1q3，解得a1＝1或a1＝0(舍去)．因为a5－a1＝2S4，所以a1q4－a1＝2×，即q4－1＝2×，解得q＝3或q＝－1(舍去)，所以an＝3n－1. (2)由题意可得，bm＝＝＝，则bm＋1－bm＝－＝>0，故数列{bn}单调递增，不难发现b5＝＝27<50，b6＝＝>50，故满足题意的m的最小值为6. 3．在等差数列{an}中，a1＝1,2a3－a4＝2. (1)求{an}的通项公式； (2)证明： <－. 解：(1)设{an}公差为d，由题设可得2(1＋2d)－(1＋3d)＝2，得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n. (2)证明：因为＝－，所以 ＝＋＋＋…＋＝－＝－＝－. 因为(n＋1)(n＋2)<2，所以>.于是 <－. 4．已知等差数列{an}公差不为零，a1＋a2＋a3＝a5，a2·a3＝a8，数列{bn}各项均为正数，b1＝1，b－3b＝2bnbn＋1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若＋6≥an恒成立，求实数λ的最小值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由条件 解得或∵d≠0，∴ ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∵3b＋2bnbn＋1－b＝0，∴(bn＋1＋bn)(3bn＋1－bn)＝0，∵bn>0，∴bn＋1＝bn， 又b1＝1≠0，∴bn≠0，∴＝，∴{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．∴bn＝n－1. (2)∵bn＝n－1，an＝2n－1，∴＋6≥an，即＋6≥2n－1，即λ≥恒成立，设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝， 即n＝1,2,3时cn＋1>cn； n＝4时cn＋1＝cn；n≥5，n∈N*时cn＋1<cn， ∴n＝4或n＝5时，cn＝为{cn}的最大项，∴λ≥，故实数λ的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$