第一板块 课时验收评价(五) “解三角形”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第一板块 课时验收评价（五） “解三角形”大题规范增分练 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asin2＝bsin A，A的角平分线交BC于点D. (1)求B； (2)若c＝，AD＝，求b. 解：(1)因为2asin2＝bsin A， 所以a(1－cos B)＝bsin A， 由正弦定理得sin A(1－cos B)＝sin Bsin A， 整理得sin B＋cos B＝1， 所以sin＝， 因为B∈(0，π)， 所以B＋∈， 所以B＋＝， 所以B＝. (2)在△ABD中，＝， 所以sin∠ADB＝＝， 所以∠ADB＝， 所以∠BAD＝∠DAC＝， 所以∠ACB＝∠BAC＝， 所以△ABC是等腰三角形， 且a＝c， 所以b＝2acos＝. 2．(2023·天津高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin(B－C)的值． 解：(1)由正弦定理＝， 得＝， 解得sin B＝. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即39＝4＋c2－4ccos 120°， 整理得c2＋2c－35＝0， 解得c＝5或c＝－7(舍去)．所以c＝5. (3)由正弦定理＝， 可得sin C＝， 又B，C均为锐角， 所以cos C＝＝， cos B＝＝， 所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－. 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求角A； (2)若b＝5，BC边上的高为，求边c. 解：(1)因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C， 所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 所以由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc， 所以由余弦定理得cos A＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由三角形面积公式得S△ABC＝ah＝×a＝a，S△ABC＝bcsin A＝×5c×sin＝c， 所以a＝c，即a＝c，由余弦定理得a2＝25＋c2－5c， 将a＝c代入上式得c2＋16c－80＝0，解得c＝4或c＝－20(舍去)，所以边c＝4. 4.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面积； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求tan∠CAD. 解：(1)因为AB＝1，AC＝，∠ABC＝，由余弦定理可得2AB·BC·cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC2，代值化简得BC＝或－2(舍去)， S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝. (2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理可得＝　①，由AB⊥AD可得∠BAD＝，则∠BAC＝－θ，∠ACB＝π－∠ABC－∠BAC＝π－－＋θ＝θ－， 在△ABC中，由正弦定理可得＝　②，得＝·，整理得sin θ＝2cos θ，化简得tan θ＝2，故tan∠CAD＝2. 5．(2023·沈阳三模)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足sin2A－sin2B＋sin2C－sin Asin C＝0. (1)求B； (2)若a＝1，求b＋c的取值范围． 解：(1)因为sin2A－sin2B＋sin2C－sin Asin C＝0，所以a2－b2＋c2－ac＝0， 即b2＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－2accos B，所以cos B＝， 因为B∈，所以B＝. (2)由正弦定理＝＝，得b＝＝，c＝＝＝＋，则b＋c＝＋＝＋＝＋，由锐角△ABC，得得<A<，则<<， 所以tan∈，从而∈(1，)，所以b＋c的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$