第五板块 课时验收评价(七) “解析几何”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第五板块 课时验收评价（七） “解析几何”大题规范增分练 1．已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)．过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点F1作AB的垂线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)求的取值范围． 解：(1)由题意得，c＝2，由椭圆定义，△MNF2的周长为4a＝4⇒a＝，所以b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)当l⊥x轴时，MN与x轴重合，不符合题意， 当直线l与x轴重合时，|MN|＝＝，|AB|＝2a＝2，所以＝； 当直线l斜率存在且不为0时，设直线l：x＝ty－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MN：x＝－y－2， 联立直线l与椭圆C的方程得⇒(t2＋3)y2－4ty－2＝0，Δ＝(4t)2＋8(t2＋3)＞0， 由韦达定理得y1y2＝－，y1＋y2＝. 所以|AB|＝|y1－y2|＝ ＝2， 同理|MN|＝2， 所以＝＝∈， 综上所述，的取值范围是. 2.如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B. (1)证明：直线BC∥x轴； (2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8. 证明：(1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，设A，B， 所以直线AO的方程为：y＝x， 由题意可得C， 设直线AB的方程为x＝my＋2， 联立整理可得y2－8my－16＝0， 所以y1y2＝－16，可得y2＝－， 所以yC＝y2，所以BC∥x轴． (2)因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)， ＝，＝， 因为BE⊥BF，所以·＝0， 即y＋＝0， 解得y＝－32＋16，x2＝2－4， 由(1)可得x1x2＝＝＝4，所以x1＝2＋4， |AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2， 所以可证：||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8. 3.已知点F1(－1,0)是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且椭圆C经过点.过点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：x＝－4的垂线，垂足为E. (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：直线EN过定点，并求定点的坐标． 解：(1)由题意知所以a＝2，b＝， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：由题意F1(－1,0)，设直线MN：x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(－4，y1)， 联立整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，显然Δ＞0恒成立， 则y1＋y2＝，y1y2＝，易知：－2my1y2＝3(y1＋y2)， 又kEN＝，所以直线EN：y－y1＝(x＋4)， 令y＝0，则x＝－4－＝－4－＝－4＋＝－4＋＝－. 所以直线EN过定点P. 4．(2023·永州三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点P在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积的最大值． 解：(1)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，因为焦距为2，P， 所以2c＝2且PF2⊥x轴， 故＝， 又由于a2＝b2＋c2＝b2＋1，所以解得a＝2，b＝， 故椭圆C方程为＋＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝kx＋m， 由于直线PM，PN的倾斜角互补，故kPM＋kPN＝0， 联立方程整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 故Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)＞0，即m2＜3＋4k2， 且x1＋x2＝－，x1x2＝， kPM＋kPN＝＋＝ 2k＋＝ 2k＋＝ 2k－＝ 2k－＝＝0， 所以k＝，故MN的方程为y＝x＋m，且0≤m2<3＋4k2＝4, 所以弦长|MN|＝|x1－x2|＝ ＝×， 原点到直线MN：x－2y＋2m＝0的距离为d＝， 所以S△OMN＝|MN|d＝＝ ≤， 故当且仅当m＝±时，△OMN的面积的最大值为. 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线交E于A，B两点，设E的准线与x轴的交点为K，当S△KAF＝2S△KBF时，S△KBF＝. (1)求抛物线E的标准方程； (2)若点N(3,0)，过点N的直线l与E交于P，Q两点，是否存在x轴上的定点M，使得|MP||NQ|＝|MQ||NP|恒成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为F，K， 所以|KF|＝p. 由题意得直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，代入y2＝2px(p