第三板块 课时验收评价(四) “立体几何”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 课时验收评价（四） “立体几何”大题规范增分练 1.如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝1. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED； (2)若DM＝DE，求三棱锥D­ACM的体积． 解：(1)证明：∵△ABC的外接圆O的直径为AB， ∴AC⊥BC. 又∵EC⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC， ∴EC⊥BC， 又∵AC∩EC＝C，AC⊂平面ACE，EC⊂平面ACE， ∴BC⊥平面ACE，又BC⊂平面BCED, ∴平面AEC⊥平面BCED. (2)连接CM，CD，∵DM＝DE， ∴VD­ACM＝VE­ACM＝VM­ACE， ∵平面AEC⊥平面BCED， 过M作MN垂直于CE，交CE于N，则MN∥BC， 由(1)知BC⊥平面ACE，故MN⊥平面ACE， 则MN为锥体M­ACE的高， 且MN＝BC＝， ∴VM­ACE＝×××2×＝， ∴VD­ACM＝. 2.如图，在四棱锥P­ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD为等腰三角形，∠BCD＝120°，E为PA的中点． (1)求证：DE∥平面PBC； (2)若PD⊥底面ABCD，且PD＝BC＝2，求点E到平面PBC的距离． 解：(1)证明：如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF，∵△BCD为等腰三角形，且∠BCD＝120°， ∴∠DBC＝30°，又∵△ABD为等边三角形，且F为AB的中点， ∴∠BDF＝30°，∴∠DBC＝∠BDF，∴DF∥BC， 又∵DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DF∥平面PBC，又∵E，F分别为PA，AB的中点，∴EF∥PB，又∵EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC. 又∵EF∩DF＝F，且EF，DF⊂平面DEF，∴平面DEF∥平面PBC，∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面PBC. (2)连接CF，在等腰△BCD中，∵BC＝2，∠BCD＝120°，∴BD＝2，∴PB＝4，PC＝2.在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PBC＝＝，∵∠PBC∈，∴sin∠PBC＝，∴S△PBC＝×PB×BC×sin∠PBC＝.在Rt△BCF中，FB＝，BC＝2，则S△BCF＝.设点F到平面PBC的距离为d，由VF­PBC＝VP­BCF，得×S△PBC×d＝×S△BCF×PD，∴××d＝××2，解得d＝.由(1)可知，EF∥平面PBC，∴点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离．∴点E到平面PBC的距离为. 3.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1. (1)证明：平面ABF∥平面DCE； (2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成体积比为3∶5的上下两部分？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，所以AF∥平面DCE，因为四边形ABCD是正方形，AB∥CD，所以AB∥平面DCE，因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE. (2)假设存在一点G满足条件，过G作MG∥BF交EC于点M，连接BG，BM，FG，如图，由VABCDEF＝VB­ADEF＋VB­CDE＝×3×＋×3×＝，设EG＝t，则VGFBME＝VB­EFG＋VB­EGM＝×＝.过点C作BF的平行线交ED于点N，则△ABF≌△DCN，所以DN＝1，因为MG∥BF，所以MG∥CN.所以△EGM∽△ENC.设M到ED的距离为h，则＝＝＝，即h＝t，则S△EGM＝×t×t＝t2，VGFBME＝VB­EFG＋VB­EGM＝×3××3×t＋×3×t2＝，即4t2＋8t－21＝0，解得t＝或t＝－(舍)，则存在点G，满足EG＝，即G为ED的中点时满足条件． 4．如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个空间五面体，如图2. (1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF； (2)若∠AEB＝，求三棱锥A­BEF的体积． 解：(1)证明：如图，取线段CF的中点H，连接OH，GH，由题意可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB，因为O是线段BF与CE的中点，所以OH∥BC且OH＝BC，在题图1中，AG∥EF且AG＝EF，而EF∥BC且EF＝BC，所以在题图2中，AG∥BC且AG＝BC，所以AG∥OH且AG＝OH，所以四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG，由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，所以AO∥平面GCF. (2)翻折前，EF⊥AE，EF⊥BE，则翻折后，EF⊥AE，E