第六板块 课时验收评价(五) 综合性考法针对练-导数与函数的零点问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第六板块 课时验收评价（五） 综合性考法针对练——导数与函数的零点问题 1．已知函数f(x)＝ax＋ln x＋－2，a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋－＝， ①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ②若a>0，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． (2)若a≤0，f＝＋1－a＋e－2＝a＋e－1>0，f(1)＝a－1<0. 结合函数的单调性可知，f(x)有唯一零点． 若a>0，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以要使得函数有唯一零点，只需f(x)min＝f＝1－(a－1)ln a＋a－2＝(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或a＝e. 综上，a的取值范围为(－∞，0]∪{1}∪{e}． 2．(2023·汕头三模)已知函数f(x)＝x－2sin x. (1)求f(x)在的极值； (2)证明：函数g(x)＝ln x－f(x)在上有且只有两个零点． 解：(1)由f(x)＝x－2sin x，得f′(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)，令f′(x)＝0，得x＝. 当0<x<时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减， 当<x<π时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f＝－，无极大值． (2)证明：g(x)＝ln x－f(x)＝ln x－x＋2sin x，x∈(0，π)，则g′(x)＝－1＋2cos x， 令φ(x)＝＋2cos x－1，则φ′(x)＝－－2sin x. 当x∈(0，π)时，φ′(x)＝－－2sin x<0，则φ(x)在上单调递减， ∵φ＝>0，φ＝－1<0， 所以存在x0∈，使得φ＝g′＝0. 当x变化时，g(x)，g′(x)变化如下表： x (0，x0) x0 (x0，π) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值g 单调递减 而g＝ln－＋>0，g＝ln π－π<lne2－π＝2－π<0， 则g>g>0，又g＝ln－＋1， 令h(x)＝ln x－x＋1，其中0<x<1， 则h′(x)＝－1＝>0，所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，则h(x)<h(1)＝0， 所以h＝ln－＋1<0， 由零点存在定理可知，函数g(x)在上有两个零点． 3．已知函数f(x)＝ln x－. (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； (2)设x0是f(x)的一个零点，证明：曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线． 证明：(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f′(x)＝＋>0， 所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增． 因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0， 所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点x1(e<x1<e2)， 即f(x1)＝0. 又0<<1，f＝－ln x1＋＝－f(x1)＝0， 故f(x)在(0,1)上有唯一零点. 综上，f(x)有且仅有两个零点． (2)因为＝e－ln x0， 所以点B在曲线y＝ex上． 由题设知f(x0)＝0，即ln x0＝， 故直线AB的斜率k＝＝＝. 曲线y＝ex在点B处切线的斜率是，曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是， 所以曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线． 4．设函数f(x)＝ex－ax－b＋1(a，b∈R)． (1)若b＝1，f(x)有两个零点，求a的取值范围； (2)若f(x)≥0，求a＋b的最大值． 解：(1)当b＝1时，f(x)＝ex－ax.则f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，不合题意． 若a>0，由f′(x)＝0得x＝ln a. 当0<x<ln a时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>ln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)的极小值为f(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a， f(x)有两个零点，则a－aln a<0，即ln a>1，所以a>e， 故a的取值范围是(e，＋∞)． (2)由题f′(x)＝ex－a， 若a<0，则f′(x)>0，f(x)单调递增，当x―→－∞时，f(x)―→－∞，此时存在x0，使得f(x0)<0，不符合题意． 若a＝0，由f(x)≥0，知1－b≥0，即b≤1，满足a＋b≤1. 若a>0，由f′(x)＝0得x＝ln a，当x<ln a时，f′(x