第六板块 课时验收评价(六) 综合性考法针对练-导数与不等式综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第六板块 课时验收评价（六） 综合性考法针对练——导数与不等式综合问题 1．已知函数f(x)＝x2－ln x. (1)求函数f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)＋ex－1－ax≥0，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意知，函数定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－，则f′(1)＝1，f(1)＝1， 所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝f′(1)·(x－1)，即x－y＝0. (2)记F(x)＝x2－ln x＋ex－1－ax， 由F(1)≥0，得1－0＋1－a≥0，即a≤2. 当a≤2时，因为x>0，所以F(x)≥x2－ln x＋ex－1－2x， 令G(x)＝x2－ln x＋ex－1－2x， 则G′(x)＝2x－＋ex－1－2＝2(x－1)＋，当x∈(0,1)时，G′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，G′(x)>0， 所以G(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以G(x)≥G(1)＝0，即F(x)≥G(x)≥0. 综上可知，a≤2.故a的取值范围为(－∞，2]． 2．已知函数f(x)＝ex. (1)若f(x)≥ax＋1，求实数a的取值范围； (2)若g(x)＝x＋ln x，求证：g(x)－xex＋1≤0. 解：(1)由f(x)≥ax＋1，即ex－(ax＋1)≥0，令h(x)＝ex－(ax＋1)，x∈R，则问题转化为h(x)min≥0，由于h′(x)＝ex－a， ①当a≤0时，h′(x)>0恒成立，所以h(x)在定义域上单调递增，又h(0)＝0，所以当x<0时h(x)<0，故不符合题意； ②当a>0时，令h′(x)＝0得x＝ln a，所以x<ln a时h′(x)<0，当x>ln a时h′(x)>0，即h(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(ln a)＝eln a－aln a－1＝a－aln a－1≥0，令φ(a)＝a－aln a－1(a>0)，所以φ(a)≥0，因为φ′(a)＝－ln a，所以φ(a)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(a)≤φ(1)＝0，所以φ(a)≥0时a＝1，综上所述，实数a的取值范围为a＝1. (2)证明：由(1)可知ex≥x＋1，当且仅当x＝0时等号成立， 因为g(x)＝x＋ln x，所以g(x)－xex＋1＝g(x)－eg(x)＋1≤g(x)－[g(x)＋1]＋1＝0，当且仅当g(x)＝x＋ln x＝0时等号成立，所以g(x)－xex＋1≤0. 3．已知函数f(x)＝a(ln x＋x)－xex. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与y轴垂直，求f(x)的单调区间； (2)若对任意x>0，不等式f(x)＋1≤0恒成立，求a的取值集合． 解：(1)由题意知：f′(x)＝a－(x＋1)ex，且f′(1)＝－2(e－a)＝0，解得a＝e， ∴f′(x)＝－(x＋1). ∵f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴－(x＋1)<0，且函数φ(x)＝ex－在(0，＋∞)上为增函数，φ(1)＝0，即当0<x<1时，φ(x)<0；当x>1时，φ(x)>0. ∴f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)，单调递增区间为(0,1)． (2)f′(x)＝－(x＋1)且定义域为(0，＋∞)， ①当a<0时，f′(x)<0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x―→0时，f(x)＋1―→＋∞，显然不符合题意． ②当a＝0时，f＋1＝1－>0，不合题意． ③当a>0时，令f′(x)＝0，得ex－＝0，即xex＝a. 令g(x)＝xex，则g′(x)＝ex(x＋1)>0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则存在x0∈(0，＋∞)，使得x0ex0＝a，两边同时取对数可得x0＋ln x0＝ln a. 当0<x<x0时，xex<a，f′(x)>0；当x>x0时．xex>a，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f(x0)＝a(ln x0＋x0)－x0ex0＝aln a－a. 令h(a)＝aln a－a＋1(a>0)，则h′(a)＝ln a. 由h′(a)>0，得a>1；由h′(a)<0，得0<a<1.从而h(a)min＝h(1)＝0，∴h(a)≥0. 又h(a)＝aln a－a＋1≤0，∴h(a)＝aln a－a＋1＝0， ∴a＝1，故a的取值集合为{1}． 4．已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2. (1)求实数a的值，以及实数m的取值范围； (2)证明：ln x1＋ln x2>2. 解：(1)f′(x)＝＝(x>0)， 由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0<x<ea＋1时，f′(x)>0， 当x>ea＋1时，f′(x)<0， 所以