广东省信宜市某校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

2023-2024年度高二第二学期开学考试 数学试题 一、单选题 1．已知向量，若，则实数m的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．甲射击命中目标的概率为， 乙射击命中目标的概率为. 现在两人同时射击目标， 则目标被击中的概率是（    ） A． B． C． D． 3．若点P为抛物线上一点，则F为焦点，，则点P到y轴的距离为（    ） A．3 B．2 C．4 D．1 4．某同学利用寒假进行网络平台勤工俭学，共收入1200元，第一天收入10元，之后由于技术熟练，从第2天起每天的收入都比前一天多10元，该同学共进行的天数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．圆截直线所得的弦长为，则（    ） A．2 B． C． D． 6．航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（    ） A． B． C． D． 7．设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．过点且与圆相切的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D．直线与直线所成角的余弦值为 11．已知双曲线，则（    ） A．双曲线的焦点在轴上 B．双曲线的焦距等于 C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线的离心率的取值范围为 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 三、填空题 13．已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为 . 14．已知等差数列的前项和为，若，，则 . 15．袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为 ． 16．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数等于 ． 四、解答题 17．从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数. (1)求这个两位数是奇数的概率； (2)求这个两位数能被3整除的概率. 18.已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 19．已知等差数列的公差为3，若，，成等比数列． (1)求等差数列的通项公式； (2)若等差数列的前n项和为，证明：． 20．已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 21．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）． (1)求证：； (2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离． 22．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 2023-2024年度高二第二学期开学考试 数学参考答案 1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．C 9．AC 10．AD 11．ACD 12．ABD 13．-2 14． 15． 16．4 17．(1) (2) 18. (1) (2)3 19．（1）因为，，成等比数列，所以 又因为为等差数列，公差为3 所以，解得， 则=； （2）由（1）得 则 20．(1)； (2)． （1）由题可设圆C的标准方程为，则 ， 解之得， 所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得， 解得, 又点E在圆C：上， 所以有， 化简得：, 故所求的轨迹方程为． 21．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，然后利用线面垂直的性质即得； （2）利用坐标法，求出平面ACD的法向量，然后利用点到平面的距离的向量求法即得. 【详解】（1）在直角梯形ABCD中，，，， 所以，， ∴， ∴， ∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD， ∴平面ABD，又∵平面ABD， ∴； （2）由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐