第1章 微专题3 必备素养(模型观念) 含角平分线的截长补短（课件PPT）-【思而优·全程突破】2024年春八年级数学下册同步训练（北师大版）

微专题3　必备素养(模型观念)　 含角平分线的截长补短 第一章　三角形的证明 结构特点：已知角平分线，证明线段和差或者角度关系问题． 处理策略：在角两边截取相等的线段，特殊的时候会作垂线，这就是常见的截长补短法来构造全等．　 首页 【截长法】在较长的线段上截一条线段等于较短线段，然后再证明剩余的线段与另一段线段相等． 1．【例】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠B＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD. 首页 证明：如图，在DC上找一点M，使得DM＝DB，连接AM. ∵AD⊥BC，DM＝DB， ∴AB＝AM，∠B＝∠AMB， ∵∠B＝2∠C，∠AMB＝∠C＋∠MAC， ∴∠MAC＝∠C， ∴AM＝CM， ∴CM＝AB， ∴CD＝MC＋DM＝AB＋BD. 首页 【补短法】延长较短线段与较长线段相等，然后再证明延长的部分等于另一条线段． 首页 含角平分线的截长补短 2．如图，已知在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是△ABC的角平分线．求证：AC＝AB＋BD. 首页 证明：如图，延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAD＝∠CAD. 在△FAD和△CAD中， ∴△FAD≌△CAD(SAS)， ∴∠C＝∠F. ∵∠ABC＝2∠C，∠ABC＝∠F＋∠BDF， ∴∠F＝∠BDF， ∴BD＝BF， ∴AC＝AF＝AB＋BD. 首页 3．如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C. 求证：AD＋BC＝AB. 首页 证明：如图，在线段AB上截取AF＝AD，连接EF， 在△ADE与△AFE中， ∴△ADE≌△AFE(SAS)， ∴∠D＝∠AFE. 由AD∥CB，得∠C＋∠D＝180°， ∴∠AFE＋∠C＝180°. 又∵∠BFE＋∠AFE＝180°， ∴∠C＝∠BFE. 在△CBE与△FBE中， ∴△CBE≌△FBE(AAS)． ∴BF＝BC. ∵AB＝AF＋BF， ∴AB＝AD＋BC. 首页 4．如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD. 求证：∠A＋∠C＝180°. 首页 证明：方法1：截长法，如图，在BC上截取BE， 使BE＝AB，连接DE， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBE. 在△ABD和△EBD中， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴∠A＝∠BED，AD＝DE. ∵AD＝CD， ∴DE＝DC， ∴∠C＝∠DEC. ∵∠BED＋∠DEC＝180°， ∴∠A＋∠C＝180°； 首页 方法2：补短法，如图，延长BA至点E，使BE＝BC，连接DE. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC. 在△EBD和△CBD中， ∴△EBD≌△CBD(SAS)， ∴∠E＝∠C，DE＝DC. 首页 ∵AD＝CD， ∴DE＝AD， ∴∠E＝∠EAD. ∵∠EAD＋∠BAD＝180°， ∴∠BAD＋∠C＝180°. 首页 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 　　　　 $$