第1章 微专题2 必备素养(模型观念) 含三角形的角平分线（课件PPT）-【思而优·全程突破】2024年春八年级数学下册同步训练（北师大版）

微专题2　必备素养(模型观念)　 含三角形的角平分线 第一章　三角形的证明 结构特点：三角形含有两条或以上的内角或外角的平分线，求它们的夹角问题． 处理策略：利用几个模型的思想和方程思想解决问题．　 首页 模型一　双内角平分线模型 【条件】如图，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线． 【结论】∠BOC＝90°＋ ∠A. 首页 1．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是_____________. 首页 等腰三角形 2．如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝___． 首页 80° 模型二　内外角平分线模型 【条件】如图，BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线． 【结论】∠O＝ ∠A. 首页 3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＋∠P＝_____． 首页 90° 4．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠MAC的平分线相交于点O.求证：点O在∠ACN的平分线上． 首页 证明：如图，作OD⊥BM于点D，OE⊥AC于点E， OF⊥BN于点F， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BM，OF⊥BN， ∴OD＝OF. 同理可得OE＝OD， ∴OE＝OF， 又∵OE⊥AC，OF⊥BN， ∴点O在∠ACN的平分线上． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分△ABC的外角∠BAD，BE与FA交于点E，求∠E的度数． 首页 首页 模型三　双外角平分线模型 【条件】如图，BO，CO分别是∠CBD和∠BCE的平分线． 【结论】∠BOC＝90°－ ∠A. 首页 6．如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到直线AB，AC的距离相等；③点O到△ABC的三边(或所在直线)的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中一定成立的结论的个数是(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 首页 C 7．探究： (1)如图1，∠DBC与∠BCE是△ABC的两个外角，那么∠A，∠DBC，∠BCE之间有怎样的等量关系？请直接写出结论； 首页 解：∠DBC＋∠BCE＝∠A＋180°； (2)如图2，若BP，CP分别平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系？请说明理由； 首页 首页 (3)如图3，若BP，CP分别平分四边形QBCF的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P与∠Q，∠F之间有怎样的等量关系？请说明理由． 首页 首页 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠ABC. ∵AF平分外角∠BAD， ∴∠FAB＝∠BAD. 又∵∠BAD＝∠C＋∠ABC＝90°＋∠ABC， ∴∠FAB＝(90°＋∠ABC)＝45°＋∠ABC. 又∵∠FAB＝∠E＋∠ABE， ∴∠E＝∠FAB－∠ABE＝45°＋∠ABC－∠ABC＝45°. 解：∠P＝90°－∠A，理由如下： ∵BP，CP分别平分∠DBC和∠BCE， ∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB， ∴∠PBC＋∠PCB＝∠DBC＋∠ECB ＝(180°＋∠A) ＝90°＋∠A， ∴∠P＝180°－(∠PCB＋∠PBC)＝90°－∠A； 解：∠P＝180°－(∠DQF＋∠QFE)，理由如下： 延长BQ，CF交于点A，如图， 由(1)得∠A＋180°＝∠DQF＋∠QFE， 由(2)得∠P＝90°－∠A， ∴∠P＝90°－(∠DQF＋∠QFE－180°) ＝180°－(∠DQF＋∠QFE)． $$