5.3 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2024安徽中考数学·基础夯实练

基础夯实练·安徽数学 3. 在平行四边形 ABCD 中,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E,交 CD 的延长线于点 F. (1)如图①,若∠ABC = 60°,AB = 2,则 AE = 　 2　 ,∠FED = 　 30°　 ,∠F = 　 30°　 ; 图① 　 　 图② 第 3 题图 (2)如图②,连接 CE,点 G,H 分别是 BE,CE 的中点,连接 GH,AE = 2ED,GH = 4. 5. ①BC = 　 9　 ,AB = 　 6　 ,DF = 　 3　 ; ②若△DEF 的面积为 6,则平行四边形 ABCD 的面积为　 72　 . 命题点 3　 矩形的性质与判定(10 年 7 考) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 理解矩形的概念; 2. 探索并证明矩形的性质定理:矩形的四个角都是直角,对角线相等;探索并证明矩形的 判定定理:三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形. 要点归纳 1. 矩形:有一个角是①　 直角　 的平行四边形 ∙∙∙∙∙ 叫作矩形. 2. 矩形的性质(矩形具有平行四边形的一切性质) 边 对边②　 平行　 且③　 相等　 ,即 AB∥CD,AD∥BC,AB = CD,AD = BC 角 四个角都是直角,即∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° 对角线 对角线互相④　 平分且相等　 ,即 OA =OB =OC =OD,AC =BD 对称性 既是轴对称图形(有⑤　 2　 条对称轴),又是中心对称图形 面积 等于相邻两边的乘积,S矩形ABCD = AB·AD 3. 矩形的判定 已知四边形 ABCD,请添加适当的条件,使四边形 ABCD 为矩形. 图形 添加条件 判定定理 (1)∠ABC =⑥　 90　 ° 有⑦　 一个角是直角　 的平行四 边形是矩形 (2)AC ⑧　 = 　 BD ⑨　 对角线相等　 的平行四边形 是矩形 (3)∠A =∠B =∠C = ⑩　 90　 ° 有􀃊􀁉􀁓　 三个角　 是直角的四边形 是矩形 69 基础夯实练·安徽数学 4. 矩形中的特殊三角形与面积问题 图形 延伸——— 60° (或 AB = AO) 结论 一对全等 ∙∙ 的直角三角形; S1 􀃊􀁉􀁔　 = 　 S2 两对全等 ∙∙ 的等腰三角形; S1 􀃊􀁉􀁕 = 　 S2 􀃊􀁉􀁖 = 　 S3 􀃊􀁉􀁗 = 　 S4 △AOB 和△DOC 是一对 全等 ∙∙ 的等边三角形 随堂练习 1. 在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)如图①,若 AO = 5,AB = 6,则 BC = 　 8　 ,矩形 ABCD 的面积为　 48　 ; (2)如图②,过点 O 作 OP⊥BC 于点 P,若 OP = 2,BC = 8,则 AB = 　 4　 ,BD = 　 4 5　 ; 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 1 题图 (3)(人教八下 P53 例 1 改编)如图②,若∠ABO = 60°,AB = 2,则△AOB 是　 等边　 三角形, AC = 　 4　 ,BC = 　 2 3　 ; (4)如图③,过点 O 作 OE⊥BD 交 AD 于 E,若 AB = 4,AD = 8,则 AE = 　 3　 . 2. 在▱ABCD 中,BD⊥BC,点 E 是 CB 延长线上一点,连接 AE. 图① 　 　 图② 第 2 题图 (1)如图①,有以下条件:①∠AEB = 90°,②AE∥BD,③AE = BE,④AD = EB. 请你从所给条件 中选出一个使得四边形 ADBE 是矩形,填写在下面,并写出判定依据及证明过程. 你选的条件是　 ①　 (填序号),判定依据是　 三个角是直角的四边形是矩形　 ;(答案 不唯一) 证明:∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∵BD⊥BC,∴∠CBD =∠ADB =∠DBE =90°, ∵∠AEB =90°,∴四边形 ADBE 是矩形. (2)如图②,连接 DE. 若 DE = DC,求证:四边形 ADBE 是矩形; 证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD =BC,AB =CD. ∵DE =DC,DB⊥BC,∴DE =AB,BE =BC, ∴AD∥BE,AD =B