第4章 一题多解法：针对三角形-【一战成名新中考】2024福建中考数学分层作业本

分层作业本·福建数学 一 题 多 解 法 一题多解法：针对三角形 典例精讲 例　如图，在边长为６的等边△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＣ，ＢＣ的中点，点Ｇ，Ｈ分别是ＡＥ，ＢＤ的中 点，则ＧＨ＝　　　　． 例题图 在不添加辅助线的前提下，写出尽可能多的结论： ①△ＡＢＣ是等边三角形；②∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ＝６０°；③ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝６；④ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＥ＝ ＥＣ＝３；⑤ＡＧ＝ＧＥ，ＢＨ＝ＨＤ 例题解图① 思路一（看到中点，构造中位线）： 如解图①，连接ＤＧ并延长交ＡＢ于点Ｍ，∵Ｄ是ＡＣ的中点，Ｇ是ＡＥ的中点，∴ＤＧ 是△ＡＣＥ的中位线，ＡＤ＝１２ＡＣ＝３，∴ＤＧ∥ＢＣ，∴ＤＭ∥ＢＣ，∴ＡＭ＝ＢＭ＝ １ ２ＡＢ＝３， ∴ＡＭ＝ＡＤ，∵△ＡＢＣ是等边三角形，点 Ｅ是 ＢＣ的中点，∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ， ∴ＤＧ＝ＭＧ，∵Ｈ是ＢＤ的中点，∴ＧＨ是△ＤＭＢ的中位线，∴ＧＨ＝１２ＢＭ＝ ３ ２． 例题解图② 思路二（看到中点，构造中位线）： ∵△ＡＢＣ是边长为６的等边三角形，∴ＡＣ＝ＢＣ＝６，∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＣ＝６０°，∵点Ｄ， Ｅ分别是ＡＣ，ＢＣ的中点，∴ＡＤ＝ＢＥ＝３，如解图②，取ＡＢ的中点Ｆ，连接ＧＦ，ＨＦ， ∵点Ｇ，Ｈ分别是 ＡＥ，ＢＤ的中点，∴ＦＧ是△ＡＢＥ的中位线，ＦＨ是△ＡＢＤ的中位 线，∴ＦＧ∥ＢＥ，ＦＧ＝１２ＢＥ＝ ３ ２，ＦＨ∥ＡＤ，ＦＨ＝ １ ２ＡＤ＝ ３ ２，∴ＦＧ＝ＦＨ，∠ＡＦＧ＝ ∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＢＦＨ＝∠ＢＡＣ＝６０°，∴∠ＨＦＧ＝１８０°－∠ＡＦＧ－∠ＢＦＨ＝６０°，∴△ＦＧＨ是等边三 角形，∴ＧＨ＝ＦＧ＝３２． 例题解图③ 思路三（看到中点，构造中位线）： 如解图③，取ＢＥ的中点Ｍ，连接ＧＭ，ＨＭ，ＤＥ，证明Ｇ，Ｈ，Ｍ三点共线，由中位线性 质得ＤＥ，ＨＭ，ＧＭ，即可得ＧＨ． 例题解图④ 思路四（利用相似证明得结论）： 如解图④，设 ＡＥ交 ＢＤ于点 Ｏ，由等边三角形性质得 ＡＥ＝ＢＤ，ＡＯ＝ＢＯ＝２ＯＤ＝ ２ＯＥ，再由Ｈ，Ｇ分别是 ＢＤ，ＡＥ的中点，得 ＯＨ＝１４ＯＢ，ＯＧ＝ １ ４ＯＡ，得到△ＯＧＨ∽ △ＯＡＢ，即可得ＧＨ． ６６ 分层作业本·福建数学 一 题 多 解 法 针对训练 　　　　　 　　　　　　　　　　　１．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＥ是斜边 ＡＢ上的中线，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＡＢ交 ＡＣ于点 Ｆ．若ＢＣ＝４，△ＡＥＦ的面积为５，则ｓｉｎ∠ＣＥＦ 的值为　　　　． 【提示】方法一：可作平行，构造相似三角形， 利用勾股定理求解； 方法二：看到中点 ＋垂直，可构造等腰三角 形，利用勾股定理求解． 第１题图 　 第２题图 ２．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝５，ＢＣ＝３， 点Ｄ为ＡＢ中点，点Ｅ在ＡＣ上，当△ＡＤＥ的周 长与四边形 ＤＢＣＥ的周长相等时，ＤＥ＝ 　　　　． 【提示】方法一：看到中点，可构造中位线 求解； 方法二：构造直角，设未知数求解． ３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３０°，Ｄ，Ｅ分别为 ＡＣ，ＢＣ的中点，ＤＥ＝２，过点Ｂ作ＢＦ∥ＡＣ，交 ＤＥ的延长线于点 Ｆ，则四边形 ＡＢＦＤ的面积 为　８槡３　． 【提示】方法一：求出平行四边形的底和高，直 接利用面积公式计算； 方法二：证明全等，将四边形面积转化为求三 角形面积． 第３题图 　　 第４题图 ４．如图，在３×３的网格中，每个小正方形的边长 均为１，点Ａ，Ｂ，Ｃ均在格点上，则△ＡＢＣ的边 ＡＣ上的高的长度为　　　　． 【提示】方法一：利用等面积法； 方法二：构造相似求解． 方法三：利用垂美四边形面积公式求解． （拓展） ５．（２０２３丽水）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｃ＝４５°，以 ＡＢ为腰作等腰直角三角形 ＢＡＥ，顶点Ｅ恰好落在ＣＤ边上，若 ＡＤ＝１，则 ＣＥ的长是 （　Ａ　） 第５题图 Ａ．槡２ Ｂ．槡 ２ ２ Ｃ．２ Ｄ．１ 【提示】方法一：作垂线，构造全等三角形 求解； 方法二：作垂线，构造相似三角形求解． ６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点 Ｄ，点Ｅ在ＢＣ上，且ＤＥ＝ＣＤ，过点Ｅ作ＥＦ∥ ＡＢ，交ＡＤ于点Ｆ．求证：ＡＣ＝ＥＦ． 第６题图 证明：方法一：如解图，延长 ＡＤ至点 Ｇ，使 ＤＧ＝ ＡＤ，连接ＥＧ， 在△ＡＣＤ和△ＧＥＤ中， ＡＤ＝ＤＧ， ∠ＡＤＣ＝∠ＧＤＥ， ＣＤ＝ＤＥ { ， ∴△ＡＣＤ≌△ＧＥＤ（ＳＡＳ）， ∴∠ＣＡＤ＝∠Ｇ，ＡＣ＝ＥＧ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠Ｇ＝∠ＢＡＤ， ∵ＥＦ∥ＡＢ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＥＦＤ， ∴∠Ｇ＝∠ＥＦＤ，∴ＥＦ＝ＥＧ，∴ＡＣ＝ＥＦ． 其他方法见详解详析                                 