考点08 二次函数与方程不等式之间的关系-备考2024年中考数学一轮专题复习讲练（安徽专用）

考点八 二次函数与方程不等式之间的关系 知识点拓展 一、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 考向一　二次函数与一元二次方程、不等式的综合 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定. 1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根． 2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标． 3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）． 典例引领 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（k是常数）与x轴交于A、B两，其中点A的坐标为，点在此抛物线上，其横坐标为，过点P作x轴的垂线，垂足为Q， (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点B的坐标； (3)当点P在x轴上方，且的值随m的增大而增大时，求m的取值范围； (4)当抛物线上点A与点P之间的部分（包括点P）的最高点到y轴的距离等于时，直接写出m的值． 2．已知抛物线与x轴交于不同的两点． (1)求的取值范围； (2)证明该抛物线经过象限内的某个定点P，并求点P 的坐标； (3)设抛物线与轴的两个交点分别是A，B，当时，的面积是否有最大值或最小值？若有，求出该最大值或最小值及对应的的值；若没有，请说明理由． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．    (1)若，，求a的值； (2)若，， （ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况； （ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围． 4．如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围． 变式拓展 5．如图所示，二次函数的图象经过、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________． (3)不等式的解集为__________； 6．已知二次函数的图象与x轴两交点为、． (1)填空：________； (2)求代数式的值． 7．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由． 9．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)点是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．当时，求的值． 10．已知二次函数． (1)求证：对于任意的实数，该二次函数图象与轴总有公共点； (2)若该二次函数图象与轴有两个公共点，，且点坐标为，求点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点八 二次函数与方程不等式之间的关系 知识点拓展 一、二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 考向一　二次函数与一元二次方程、不等式的综合 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况