考点07 二次函数的图像与性质-备考2024年中考数学一轮专题复习讲练（安徽专用）

考点七 二次函数的图像与性质 知识点整合 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时， y最小值= 当x=–时， y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2–4ac b2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点） b2–4ac>0 与x轴有两个交点 b2–4ac<0 与x轴没有交点 四、抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． 2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 3．注意 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 考向一 二次函数的有关概念 1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零． 2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化． 典例引领 1．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 2．已知函数是二次函数，则 ． 3．二次函数的二次项系数是 ． 变式拓展 4．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 5．有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 6．若是关于x的二次函数．则m的值为 ． 7．若是y关于x的二次函数，则 ． 8．已知函数是二次函数，则 ． 考向二 二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等． 典例引领 1．已知函数，当，且为整数时，所有函数值的和为 ． 2．已知抛物线，经过四点，则与的大小关系是 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 3．二次函数，当时，，则值为 ． 4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线与直线的“向心值”为 ． 变式拓展 5．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 6．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 7．已知二次函数． （1）若抛物线经过点，则 ． （2）若当时，其对应的函数值的最小值为4，则 ． 8．定义一种新的运算“早”，运算规则如下：（1）当时，；（2）当时，．那么当时，的最大值是 ． 9．函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点七 二次函数的图像与性质 知识点整合 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y