考点09 二次函数应用-备考2024年中考数学一轮专题复习讲练（安徽专用）

考点九 二次函数应用 一、二次函数的综合 1、函数存在性问题 解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 2、函数动点问题 （1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题． （2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案． （3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 3、二次函数的实际应用 在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题． 考向一 函数应用 典例引领 1．某体验馆建造了一幢“森林”主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域，且在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量长8米． (1)若在抛物线上，求该抛物线表达式． (2)在（1）的条件下，若隔离区矩形区域的高米，则隔离区的面积为多少？ 2．如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 3．学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度． 4．希希开了一家网店，计划销售甲、乙两种商品．若甲商品每件利润25元，乙商品每件利润30元，则每周能卖出甲商品200件，乙商品80件，经调查，甲商品零售单价每降价1元，每周可多销售10件；乙商品零售单价每降价1元，每周可多销售5件，为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x（x为整数）元． (1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：_______，_______． (2)求出希希每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式； (3)如果每周两种商品的销售总量不超过380件，希希每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大是多少？ 5．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿若球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段抛物线的解析式为．    (1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求： ①的解析式； ②球过球网时球与的距离； (2)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范围． 6．如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为轴，坚直方向为轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头的坐标为． (1)当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式； (2)若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的迸溅），请通过计算说明． 7．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时