4.11 锐角三角函数的应用-【一战成名新中考】2024福建中考数学·基础夯实练

基础夯实练·福建数学 随堂练习 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）若ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，则ｓｉｎＡ＝　　　　；ｃｏｓＡ＝　　　　；ｔａｎＡ＝　　　　； （２）若ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝３５，将△ＡＢＣ三边都扩大３倍得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则ｓｉｎ∠Ｂ′Ａ′Ｃ′＝　　　　； 变式题图 （３）若ｔａｎＢ＝２３，ＡＣ＝４，则ＢＣ的长为　　　　； （４）若ＡＢ＝１５，ｓｉｎＡ＝１３，则ＡＣ的长为　　　　． 变式　如图，若△ＡＢＣ的三个顶点均在正方形网格的格点上，则 ｔａｎＡ的值 为　　　　． 命题点１１　锐角三角函数的应用（７年２考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； ２．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； ３．了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单的近似 计算． 要点归纳 １．用锐角三角函数解实际应用题的三种常见背景 概念 俯角、仰角 坡度（坡比） 方向角 图形 ｉ＝ｔａｎα＝ｈｌ 　 点Ａ在点 Ｏ的①　北　 方向 点Ｂ在点 Ｏ的②　南　 方向 点Ｃ在点 Ｏ的③　西　 方向 ２．锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 　 　 ９８ 基础夯实练·福建数学 续表 共直角型 　 　 双垂直型 　 　 构造型 　 　 随堂练习 １．如图，旗杆ＡＢ的高为９ｍ，某一时刻，旗杆的影子ＢＣ长为１８ｍ，则ｔａｎ∠ＢＡＣ＝　２　； 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，已知∠ＡＣＤ＝３０°，∠ＡＤＢ＝６０°，ＣＤ＝１０米，求ＡＢ的高度．（结果保留根号） 解：∵∠ＡＣＤ＝３０°，∠ＡＤＢ＝６０°，∴∠ＣＡＤ＝３０°，∴ＡＤ＝ＣＤ＝１０，∴ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ＡＢＡＤ， ∴ＡＢ＝ｓｉｎ６０°·ＡＤ＝槡３２×１０＝５槡３（米）， 答：ＡＢ的高度为５槡３米． ３．如图是一张交通警示牌，已知ＣＤ的高为（４槡３－５）米，ＡＢ＝７米，∠ＭＡＤ＝４５°，∠ＭＢＣ＝３０°， 求ＤＭ的高度． 第３题图 解：设ＤＭ＝ｘ米，∵ＣＤ＝（４槡３－５）米，∴ＣＭ＝ＣＤ＋ＤＭ＝ （４槡３－５＋ｘ）米， 在Ｒｔ△ＤＭＡ中，ＡＭ＝ ＤＭｔａｎ４５°＝ｘ（米）， ∵ＡＢ＝７米，∴ＭＢ＝ＭＡ＋ＡＢ＝（ｘ＋７）米， 在Ｒｔ△ＣＭＢ中，∠ＭＢＣ＝３０°，∴ＢＭ＝槡３ＣＭ，∴ｘ＋７＝槡３（４槡３－５＋ｘ）， 解得ｘ＝５，∴ＤＭ＝５米， 答：ＤＭ的高度为５米． ０９ （４）∠Ｅ＝∠Ｆ（或∠Ａ＝∠Ｄ或∠ＡＥ∥ＤＦ），ＡＡＳ ２．（１）证明：∵∠Ｂ＝∠Ｅ，∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＥ，ＡＣ＝ＡＤ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＡＤ＝ＡＥ－ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＥ． （２）证明：如解图①，连接ＢＥ， ∵ＯＥ＝ＯＢ，∴∠ＯＥＢ＝∠ＯＢＥ． ∵ＯＤ＝ＯＣ，∠ＤＯＢ＝∠ＣＯＥ，ＯＢ＝ＯＥ， ∴△ＯＢＤ≌△ＯＥＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ，ＢＤ＝ＣＥ． ∴∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＥＤ＋∠ＢＥＤ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＢＤ＝ＡＥ－ＣＥ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 第２题解图① 　 第２题解图② （３）证明：如解图②，连接ＡＯ， ∵∠ＯＣＥ＝∠ＯＤＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＡＤＯ＝９０°， ∵ＣＯ＝ＤＯ，ＡＯ＝ＡＯ， ∴Ｒｔ△ＡＣＯ≌Ｒｔ△ＡＤＯ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 命题点９　相似三角形的性质与判定 要点归纳 ① ｃｄ　② ＡＥ ＣＥ　③ ＡＥ ＡＣ　④ ＡＣ ＣＥ　⑤相等　⑥成比例　⑦相似 比　⑧相似比　⑨相似比的平方　⑩相等　瑏瑡成比例 瑏瑢相似比　瑏瑣相似比的平方　瑏瑤位似多边形　瑏瑥位似中心 瑏瑦平行 随堂练习 １．（１）４；（２）１３，１∶３， １ ９　２． ２４ ５　３．槡４２　４．１∶２　５． ２ ３　 ６．１５４　７． 槡１０ ５ 　８． １４ ３　９． ２５ ４　１０．Ｃ 命题点１０　锐角三角函数 要点归纳 ① ａｃ　② ｂ ｃ　③ ａ ｂ　④ 槡２ ２　⑤ 槡３ ２　⑥ 槡３ ２　⑦ １ ２　⑧１　 ⑨９０°　⑩ｓｉｎＢ　瑏瑡 ａｂ 随堂练习 （１）４５； ３ ５； ４ ３；（２） ３ ５；（３）６；（４） 槡１０２　 变式　 １ ２ 命题点１１　锐角三角函数的应用 要点归纳　 ①北偏东３０°　②南偏东６０°　③西北（北偏西４５°） 随堂练习 １．２； ２．ＡＢ的高度为 槡５３米． ３．ＤＭ的高度为５米． 第五章　四边形 命题点１　多边形的性质与计算 要点归纳 ①（ｎ－２）·１８０°　②３６０°　③（ｎ－３） ④ｎ（ｎ－３）２ 　⑤相等