重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题

高二上期末模拟题 一、单选题 1．向量，，，则（    ） A．9 B．3 C．1 D． 2．已知数列满足 ,则（    ） A． B． C．2 D．3 3．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列 与等差数列的前项和分别为与, 且, 则（    ） A． B． C． D． 7．设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 8．已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 二、多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10．已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间距离的最大值为 B．若点在曲线内部（不含边界），则 C．若曲线与直线有公共点，则 D．若曲线与圆有公共点，则 11．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 12．设数列满足，，记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．数列是正数等比数列，且，则 . 14．若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为 . 15．若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为 ． 16．已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）． 四、解答题 17．已知动点与两个定点，的距离的比是2. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 18．已知数列的通项公式为，在公差为整数的等差数列中，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 19．已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是棱上一点. (1)证明： 平面； (2)当 平面时，求与平面所成角的正弦值. 20．已知数列满足: . (1)求数列的通项公式; (2)设, 求数列的前项和为. 21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，. (1)证明：； (2)试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由. 22．已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于． (1)若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明； (2)若三点共线， ①证明：为定值； ②求直线与夹角的余弦值的最小值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$试卷第 1 页，共 4 页 高二期末模拟题解析 一、单选题 1．向量 ( )2, 1,2a = − ， ( )4,2,b x= − ，a b⊥ ，则 2a b+ =（ ） A．9 B．3 C．1 D．3 2 2．已知数列 na 满足 1 1 1 2, 1n n a a a += = − ,则 2024a =（ ） A． 1− B． 1 2 C．2 D．3 3．已知 0a  ， 0b  ，直线 1l ：( )1 1 0a x y− + − = ， 2l ： 2 1 0x by+ + = ，且 1 2l l⊥ ，则 2 1 a b + 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知数列 na 满足 1 1a = ， 1 4 1 n n n a a a + = + ， *( )nN ，则 na =（ ） A． 1 na n = B． 1 2 1 na n = − C． 2 1 4 3 n n a n − = − D． 1 4 3 na n = − 5．在三棱锥 −P ABC 中， , ,PA PB PC 两两垂直，且 1, 2, 3PA PB PC= = = ，三角形 ABC 重心为G ，则点 P 到直线 AG的距离为