专题5-3数列求和及综合大题归类（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题5-3 数列求和及综合大题归类 目录 题型01等差等比公式法求和 1 题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和 2 题型03 中心对称型倒序求和 3 题型04难度较大的错位相消求和 4 题型05 奇偶讨论、正负相间型求和 5 题型06 插入数型求和 6 题型07 分段型数列求和 8 题型08裂项相消型求和 8 题型09裂项归类：降幂分离型 10 题型10裂项归类：分子是分母差的线性型 10 题型11裂项归类：指数等差型裂项 11 题型12裂项归类：指数与等差“同构”型 12 题型13正负型裂项：正负基础型 13 题型14 正负型裂项：等差裂和型 14 题型15正负型裂项：指数裂和型 14 题型16裂项归类：三角函数型 15 题型17 通项分段求和 16 高考练场 17 题型01等差等比公式法求和 【解题攻略】 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解 等差数列有关公式： (1) 通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比数列有关公式： (1) 通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝ 【典例1-1】（2024上·四川自贡·高三统考）设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 【典例1-2】（2024上·湖北·高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考）已知是等差数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值. 【变式1-1】（2024上·河南·高三校联考）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式1-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校考）在等差数列中，已知：，. (1)求数列的公差及通项公式； (2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值. 题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和 【解题攻略】 分组求和 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 【典例1-1】（23·24上·徐汇·）若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列； (1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值； (2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和； 【典例1-2】（22·23上·广安·）已知数列满足.等比数列的公比为3，且. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【变式1-1】（23·24上·成都·阶段练习）设为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)令，，求数列的前项和． 【变式1-2】（23·24上·盐城·）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，且，设，求数列的前项和． 题型03 中心对称型倒序求和 【解题攻略】 倒序求和 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和 【典例1-1】（22·23·全国·专题练习）设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 【典例1-2】（21·22·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 【变式1-1】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)令，求数列的前2020项和. 【变式1-2】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 题型04难度较大的错位相消求和 【解题攻略】 错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）思维结构结构图示如下 （4）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． （5）万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， （6）公式秒杀: (错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果