热点3-1 同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点3-1 同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换 基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考中的一个必考内容。一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下；但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。 【题型1 正、余弦齐次式的计算】 满分技巧 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 【例1】（2024·四川攀枝花·统考二模）若角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·西藏林芝·高三统考期末）若，且，则 ． 【变式1-4】（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知，则 ． 【题型2 sina±cosa与sina·cosa关系】 满分技巧 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 【例2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知是三角形的一个内角，满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知，且，则下列结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）已知，A为第四象限角，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值域为 ． 【变式2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）若，求的值． 【题型3 诱导公式化简求值】 满分技巧 利用诱导公式化简求值的解题策略 1、条件求值问题的策略 （1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 【例3】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·安徽·高三校联考期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ） A． B．2 C． D． 【变式3-4】（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）若，则 ． 【题型4 同角关系与诱导公式综合应用】 【例4】（2023·重庆永川·高三永川北山中学校校考期中）已知，，则（ ） A． B． C．3 D． 【变式4-1】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知，则等于（ ） A．1 B．－ C． D．－ 【变式4-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若，，则（