专题十五相交线平行线-2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷）

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第四章 三角形 专题十五 线段、角、相交线与平行线 一、考点精讲 一、直线、射线、线段 1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线； 3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线． 2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离． 3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC． 4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交． 5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离． 二、角 1．角：有公共端点的两条射线组成的图形． 2．角平分线 （1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线 （2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． 3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°． 4．余角和补角 1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角． 3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等． 5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向． 三、相交线 1．三线八角 1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）． ∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角． 2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类： 做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图： 2．垂直 1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直． 2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短． 3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离． 4．邻补角 1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边． 3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角． 5．对顶角 1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角． 2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角． 四、平行线 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2．平行线的判定 1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行． 4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质 1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离 1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． 2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 二、真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查形式以选择题，填空题为主，主要考查平行线的判定，平行线的性质及利用其计算角度，在命题点下拓展其他新的考查形式，形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年六考，发现命题存在继承性，也有创新，创新体现在问题情境更切合实际， 贴近生活。 命题点一、平行线的判定 1.（2017山西中考）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　） A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠4=180° C. ∠1=∠4 D. ∠3=∠4 命题点二、平行线的性质求角度 2．（2023山西中考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 3．（2022山西中考）如图，是一块直角三角板，其中，.