四川省泸县第五中学2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试题

泸县五中高2021级高三下期开学考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟. 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则 A． B． C． D．5 2．设集合且，则 A． B． C． D． 3．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是 A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B．早睡人群睡眠指数主要集中在 C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D．晚睡人群睡眠指数主要集中在 4．的展开式中的常数项是 A． B． C． D． 5．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为 A．462 B．465 C．468 D．475 6．已知，则 的值为 A． B． C．1 D． 7．设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是 A． B． C． D． 8．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素的个数为 A．100 B．60 C．130 D．120 9．已知数列满足，，，则下列选项正确的是 A． B． C． D．是递增数列 10．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是 A． B． C． D． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线与的一个交点为的内心为，若，则的离心率为 A．2 B． C． D． 12．若关于x的方程存在三个不等的实数根．则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知满足，则的最大值是 . 14．已知正方体的棱长为，则在该正方体内任取一点，则其到顶点的距离大于的概率为 ． 15．动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为 . 16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）已知数列的项满足，，设 (1)证明：数列为等比数列； (2)设，为数列的前项和，求 18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，平面与平面的交线为． (1)证明：平面． (2)若二面角为，求锐二面角的余弦值． 19．（12分）首届奥林匹克电竞周于2023年6月22日至25日在新加坡举行，这是国际奥委会旗下首个以“电子竞技（ESPORTS）”命名的线下赛事.首届奥林匹克电竞周的设项非常谨慎，十款官方竞赛游戏相当于虚拟的射箭、棒球、国际象棋、自行车、舞蹈、赛车、帆船、射击、跆拳道和网球比赛.然而，与英雄联盟、王者荣耀、和平精英等杭州亚运会电竞项目相比，这十款游戏由国际奥委会、国际单项体育联合会以及游戏开发商基于真实体育运动规则和场景开发，通过虚拟现实技术来获得沉浸式运动体验.以虚拟跆拳道比赛为例，我国跆拳道奥运冠军吴静钰也受邀参赛，她将通过头戴式VR设备以及身上的感应装置，与对手在虚拟世界进行一对一非接触式比赛，不必担心现实中的风险和伤害.已知该项赛事的后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下： 第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组. 第二轮：胜者组的两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组：第一轮落入败者组的两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组. 第三轮：败者组的两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）：获胜队伍成为败者组第一名. 第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军. 假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立.问： (1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，