13.3.2 空间图形的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

高中数学苏教版必修第二册 第13章　立体几何初步 13.3 空间图形的表面积和体积 13.3.2 空间图形的体积 第1课时　柱、锥、台的体积 课标阐释 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,会利用它们求有关几何体的体积.(几何直观、数学运算) 2.掌握求几何体体积的基本技巧.(几何直观、逻辑推理) 思维脉络 【激趣诱思】 美国大发明家爱迪生有一位数学基础相当好的助手叫阿普顿.有一次,爱迪生把一只电灯泡的玻璃壳交给阿普顿,要他计算一下灯泡的容积.阿普顿看着梨形的灯泡壳,思索了好久之后,画出了灯泡壳的剖视图、立体图,画出了一条条复杂的曲线,测量了一个个数据,列出了一道道算式.经过几个小时的紧张计算,还未得出结果.结果爱迪生不到一分钟就把灯泡的容积“算”出来了.大家能猜出爱迪生使用的巧妙方法吗? 【知识梳理】 柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高); (2)锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积,h为高); (3)台体的体积公式 (S',S为上、下底面面积,h为高). 求台体的表面积和体积时,常用“还台为锥”的思想方法 名师点析 棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,它们的体积公式可统一如下: (1)V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高); (2)V锥体= Sh(S为底面积,h为锥体高); 微思考 底面积相等、高也相等的两个锥体,它们的体积相等吗? 提示 相等. 微练习 若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　) A.27 cm3　 B.60 cm3 C.64 cm3 D.125 cm3 答案 B 解析 V长方体=3×4×5=60(cm3). 探究一 柱体体积的计算 例1正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与该侧面的底边所成的角为45°,则此三棱柱的体积为(　　) 答案 A 解析 反思感悟 1.求柱体的体积关键是求其底面面积和高,底面面积利用平面图形面积的求法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形,进而求解. 2.一个几何体在空间中可以有不同的放置方法,例如三棱柱既可以把底面放在水平面上,也可以将其中的一个侧面放在水平面上,但在求其体积时,一定要分清棱柱真正的底面,放在水平面上的不一定是底面. 变式训练1(1)已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为(　　) A.2π B.4π C.8π D.16π (2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,点C到AB的距离为3 cm,侧面ABB1A1的面积为8 cm2,求直三棱柱的体积. (1)答案 D 解析 V圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π. (2)解 补上一个相同的直三棱柱ACD-A1C1D1,可以得到一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1. 这个直四棱柱可以看成以ABB1A1为底面的四棱柱DCC1D1-ABB1A1,所以点C到AB的距离即为C到底面ABB1A1的距离, 探究二 锥体体积的计算 例2(1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其体积等于　　　　　.  (2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB 将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1. ①求V1,V2以及V1∶V2; ②求点A到平面A1BD的距离d. 分析(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解. (1)答案 9π 解析 该圆锥的底面半径为R,由于轴截面是等腰直角三角形,因此圆锥的高为R. (2)解 ①截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥 A1-ABD, 反思感悟 1.锥体的体积公式V= Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥. 2.三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法. 3.有些几何体还可以利用分割法或补体法进行求解,无论补体法还是分割法都是要将所给的几何体补成(或分割成)易求解的几何体,体现出间接思维模式和化归的数学思想. 延伸探究 若例2(2)中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何