专题17.7 勾股定理的逆定理（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题17.7 勾股定理的逆定理（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】勾股数 1.勾股数：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数有：3,4,5； 5,12,13； 8,15,17； 7,24,25； 9,40,41等. 2.判断方法： （1）确定三个正整数a,b,c； （2）确定最大数c； （3）判断较小两数的平方和+是否等于 【知识点二】勾股定理的逆定理 1.文字表述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形. 2.符号语言：如果△ABC的三边长分别是a,b,c，且+=，那么△ABC是直角三角形，∠C为直角. 【知识点三】勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 1. 联系：①二者都与三角形的三边有关且都包含等式+=； ②二者斗鱼直角三角形有关；③二者是互逆定理. 2. 区别： 勾股定理 勾股定理的逆定理 二者的条件和结论相反 ①勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，即+=； ②勾股定理是直角三角形的性质 ①勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边a,b,c满足+=”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形； ②勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法 【考点目录】 【考点1】勾股数； 【考点2】用勾股定理的逆定理判断三角形的形状； 【考点3】用勾股定理的逆定理求解； 【考点4】勾股定理的逆定理的应用； 【考点5】勾股定理的逆定理的拓展. 【考点一】勾股数 【例1】（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． （2）任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】（1）①6；②12；③17；（2）见分析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． （1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 【变式1】（2024上·江西萍乡·八年级统考期末）若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（    ） A．，， B． C．，， D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的概念，注意：一组数若为勾股数，扩大或缩小相同的倍数后仍然是勾股数．根据勾股数的概念进行分析，从而得到答案． 解：正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则：， A．，，， ∵， ∴，，不一定是勾股数，故A错误； B．，，， ∵， ∴不一定是勾股数，故B错误； C．，，， ∵， ∴，，一定是勾股数，故C正确； D．，，， ∵， ∴不一定是一组勾股数 ，故D错误． 故选：C． 【变式2】（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）下面各组a、b、c，是勾股数的是 ．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【答案】（1）（2） 【分析】此题考查的知识点是勾股数．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形，据此逐项判定即可． 解：（1），能构成勾股数，故符合题意； （2），能构成勾股数，故符合题意； （3），不能构成勾股数，故不符合题意． （4），，均不是整数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 【考点二】用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 【例2】（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求的度数.    【答案】 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题． 解：由题知，， ， ， ，， ，为直角三角形，即， ． 【变式1】（2023下·北京西城·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、P均在格点上，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，取格点，连接和，证明得到，再由平行线的性质得到，则可得，再证明是等腰直角三角形即可求解． 解：如图所示，取格点，连接和 由网格的特点可知， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选B．    【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定