冲刺2024年高考数学：空间向量与立体几何小专题特训

冲刺2024年高考数学：空间向量与立体几何小专题特训 一、单选题 1．已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 2．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，且平面是边上一动点，直线与平面所成角的正切值的最大值为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 5．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（    ） A．直线共面 B． C．直线与平面所成角的正切值为 D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 6．边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 7．已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．在上的投影的数量为 10．如图，在三棱锥中，平面，，且，，过点的平面分别与棱，交于点M，N，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则 C．若M，N分别为，的中点，则点到平面的距离为 D．周长的最小值为3 11．如图，在直三棱柱中，若，，是棱的中点，则下列说法正确的是（　　）    A．点到平面的距离为 B．是平面的一个法向量 C．点到平面的距离为 D． 三、填空题 12．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 13．在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 14．设是不同的直线，是不同的平面，则以下四个命题中错误的有 . ①若则； ②若，则； ③若则； ④若则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用空间向量公式求点到直线的距离． 【详解】因为，， ，． 设点到直线的距离为d，则． 故选：C. 2．B 【分析】根据线面垂直可得线面角，进而根据直棱柱的性质即可结合勾股定理求解半径，由球的表面积公式求解. 【详解】将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，取底面的外心为，连接，取其中点为，连接，如图所示.平面，所以为直线与平面所成角， 所以, 直线与平面所成角的正切值的最大值为， 此时.在Rt中，，， 是边长为的等边三角形， ， 则球的表面积为. 故选:B. 3．C 【分析】连接、，可得且为等边三角形，即可得直线与直线所成角的大小. 【详解】 连接，，在正方体中，易得， 故直线与直线所成角的大小与直线与直线所成角大小相等， 又，故为等边三角形，故， 即直线与直线所成角的大小为. 故选：C. 4．D 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合，利用两点间距离公式，求出的长即可． 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 所以，而， 所以，即，所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现，再利用整体法即可得解. 5．D 【分析】对于A项，一般考虑寻找两平行线较易说明共面问题；对于B项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C项，充分利用正方体条件，找到直线与平面所成的角，在三角形中求解即得；对于D项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可. 【详解】                   对于A项，如图①，分别连接,,在正方体中，易得矩形, 故有，又E， G分别是棱的中点，则,故,即可确定一个平面，故A项正确； 对于B项，如图②，,故B项正确； 对于C项，如图③，连接,因平面，故直线与平面所成角即, 在中，,故C项正确； 对于D项，如图④，连接,易得, 因平面平面，则为过点B，E，F的平面与平面的一条截线， 即过点B，E，F的平面即平面. 由可得四边形为等腰梯形， 故其面积为： ，即D项错误. 故选：D. 6．C 【分析】根据三棱锥体积得到点到平面的距离为2，设点在平面的投影为点，求出，建立平面直角坐标系，求出的最小值为，从而求出答案. 【详解】， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设点在平面的投影为点， 则，， 则