[中学联盟]湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学选修1-1 3-2用导数研究函数的单调性与极值 检测题

3.2 用导数研究函数的单调性与极值 一、填空题 1.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是_. 解析 f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f′(x)=0有两个不等的实根,由Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1. 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞) 2.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是_. 解析 由f(x)=ln x+2x,得f′(x)=+2xln 2>0,x∈(0,+∞), 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x2+2)<f(3x),得0<x2+2<3x, 所以x∈(1,2). 答案 (1,2) 3.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是_. 解析 由题意,得y′=3x2+2x+m≥0解集为R,所以Δ=4-12m≤0,解得m≥. 答案 4.函数f(x)=x3-3x2+1在x=_处取得极小值. 解析 由f′(x)=0,得x=0或x=2.由f′(x)>0得x<0或x>2, 由f′(x)<0得0<x<2,所以f(x)在x=2处取得极小值. 答案 2 5.已知函数f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在实数集R上是增函数,则实数m的取值范围是_. 解析 f′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,依题意,知f′(x)在R上恒大于或等于0,所以Δ=4(m2-6m+8)≤0得2≤m≤4. 答案 [2,4] 6.已知函数f(x)=x2-cos x,x∈的x0的取值范围为_. ,则满足f(x0)>f 解析 f(x)是偶函数,且由f′(x)=2x+sin x≥0,<|x0|≤,从而,得f(|x0|)>f上单调递增,所以由f(x0)>f,知f(x)在 解得-. <x≤或≤x0<- 答案 ∪ 7.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=_. 解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3时取得极值, ∴f′(-3)=30-6a=0,则a=5. 答案 5 8.已知函数f(x)的定义域为(-2,2),导函数为f′(x)=x2+2cos x且f(0)=0,则满足f(1+x)+f(x2-x)>0的实数x的集合是_. 解析